Verifique se os conjuntos são espaço e subespaço vetorial

[gu21n]

Boa tarde pessoal,

Estou com uma certa dificuldade na resolução dos seguintes exercícios no anexo.

Se puderem me ajudar ficarei extremamente agradecido =)

Anexos

[Estanislau]

Qual é exatamente essa dificuldade?

[gu21n]

Qual é exatamente essa dificuldade?

Eu sei sobre os axiomas, mas acabei perdendo as aulas dessa matéria. Peguei alguns livros como o Steinbruch, li e reli, assisti algumas video-aulas, mas não sei como proceder para provar os axiomas e consequentemente o exercício =/

[Estanislau]

Está bem. Consegue encontrar os axiomas no livro?

Em soma, um espaço vetorial é um conjunto V dotado de duas operações, adição e multiplicação por números, com umas propriedades naturais. Estas propriedades são enumeradas como axiomas. Por exemplo, a adição tem de ser comutativa: x + y = y + x. Como é que se pode provar isto? Seja
\(x = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \quad y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}\)
então
\(x + y = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 - 2 \\ x_2 + y_2 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 + x_1 - 2 \\ y_2 + x_2 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_2 \\ y_1 \end{bmatrix} = y + x\)
Os restantes axiomas verificam-se de forma similar. Por exemplo, consegue provar os axiomas que têm a ver com a multiplicação?