Transformação do subespaço cuja imagem é um plano de equação

[Drumgun]

Senhores, estou há horas tentando descobrir como resolver esta questão do poscomp 2015 que deveria ser solucionada em menos de 3 minutos.

A alternativa correta é a letra D.

Alguém sabe resolver?

Anexos

ScreenShot001.png (17.25 KiB) Visualizado 2812 vezes

[Drumgun]

Consegui a resposta. Primeiro deve-se encontrar qualquer base do subespaço, que terá dimensão 2 (dois vetores linearmente independentes) já que o subespaço é um plano em R3. Uma base que satisfaz x + y + 2z = 0 pode ser calculada isolando o x: x = -y -2z, cujo vetor pode ser escrito como (-y-2z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-2, 0, 1). Então <-1, 1, 0> e <-2, 0, 1> é uma base do subespaço.

A transformação pela matriz é dada por: T(x, y, z) = (x + 2y -z, 2y + 3z, x - y + z). Executa-se a transformação na base para obter uma imagem do subespaço:
T(-1, 1, 0) = <1, 2, -2>
T(-2, 0, 1) = <-3, 3, -1>

Agora para responder a questão basta verificar em qual alternativa a equação do plano é igual a 0 substituindo os valores dos 2 vetores da imagem. A única equação válida é a da letra D pois:
4(1) +7(2) + 9(-2) = 0
4(-3) + 7(3) + 9(-1) = 0
Então a imagem está no plano 4x + 7y + 9z = 0.


Outro jeito para não precisar testar cada alternativa é fazer os seguinte: como os 2 vetores da imagem são linearmente independentes eles podem gerar o plano ao calcular o produto vetorial entre eles, que será um vetor normal ao plano na imagem.

Então o produto de <1, 2, -2> e <-3, 3, -1> é <(2*-1)-(-2*3), (-2*-3)-(1*-1), (1*3)-(2*-3)> = <4, 7, 9> que pode ser usado para escrever a equação do plano como 4x + 7y + 9z = 0.