Espaço vetorial: dterminar o valor de a.

[GustavoFerreira]

Seja \(S=\left \{ A \in M _{(3X1)} : AX=0\right \}\) o espaço solução do sistema \(\left\{\begin{matrix} x + y + az=0 \\ x + ay + z=0 \\ ax + y + z=0 \end{matrix}\right.\). Determine os valores de a para os quais S seja: a própria origem; uma reta que passa pela origem; e, um plano que passa pela origem.

[Sobolev]

Basta calcular a característica da matriz (rank). As alternativas propostas verificam-se quando r(A)=3, r(A)=2 e r(A)=1, respectivamente. Condensando a matriz chega a

\(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a\\ 0 & 0& 2-a-a^2 \end{array}\right)\)

Se a = 1, r(A) = 1, pelo que o espaço nulo é um plano. Se \(a \ne 1\) então temos duas hipóteses: Se \(a = -2\) então r(A)=2 e o espaço nulo é uma recta; Se \(a \ne -2\), r(A)=3 e o espaço nulo reduz-se a um ponto.