Espaço Vetorial, o gabarito está errado?

[mayconlucas]

Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:

A) O conjunto da matrizes M2x2; com a soma usual e a multiplicação dada por

\(m\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ma & mb\\ c & d \end{bmatrix}\)

O gabarito está dizendo que falha na distributividade, mas eu fiz aqui e o meu não falhou. Eu estou errado ou o gabarito está errado??

[Sobolev]

O gabarito está correcto... Por exemplo deveria ter

\((1+1) \begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix} = 1 \cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix}\)

o que não ocorre, já que

\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{matrix}+\begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{matrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&2 \end{pmatrix}\)

mas

\((1+1) \begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{matrix} = 2 \begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{matrix}= \begin{pmatrix}2&2\\1&1 \end{pmatrix}\)

Tem que existir distributividade da multiplicação por escalares relativamente à soma de vectores, mas também da soma de escalares relativamente à multiplicação por vectores.