Todas as dúvidas que tiver sobre transformações lineares, transformações inversas, espaços lineares, subespaços lineares e bases e mudanças de base, valores e vectores próprios
29 jun 2018, 08:32
Considere a matriz:
| 1 3 1 1 5 |
| -2 -6 0 4 -2 | = A
| 1 3 2 3 9 |
O posto de A, as dimensões dos dois subespaços, imagem de A e núcleo de A, e uma base para A são:
O problema é: eu não sei como resolver por causa da matriz, não faço ideia do que fazer como ela. Tenho que transformá-la em que e como?
Desde já agradeço a atenção!
29 jun 2018, 16:17
Tem que estudar a matéria teórica primeiro... Que tal começar pela definição de "posto"? O "posto" de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. No caso, como a matriz tem 3 linhas, o posto apenas pode ser 0,1,2,3 (mesmo 0 está excluído pois a única matriz com posto 0 é a matriz nula). Agora dois factos relevantes:
1. A aplicação de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o valor do posto (op. elementares são a troca de linhas, multiplicação de uma linha por uma constante não nula, e somar a uma linha um múltiplo de outra).
2. Se uma matriz estiver em "escada de linhas" (o primeiro elemento não nulo de cada linha deve estar mais à direita que o primeiro elemento não nulo da linha anterior), o posto é simplesmente o número de linhas não nulas.
No seu caso, veja que
\(\begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ -2&-6&0&4&-2\\ 1&3&2&3&9\end{matrix} \to \begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ 0 & 0&2&6&8\\ 0&0&1&2&4\end{matrix}\to \begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ 0 & 0&2&6&8\\ 0&0&0&-1&0\end{matrix}\)
A última matriz tem o mesmo posto que a primeira e está em forma de escada. Tendo 3 linhas não nulas, o posto é 3.
O posto é a dimensão da imagem, que é por isso 3. A dimensão do núcleo será a diferença entre o número de colunas e o posto, isto é, 2.
30 jun 2018, 02:55
PierreQuadrado Escreveu:Tem que estudar a matéria teórica primeiro... Que tal começar pela definição de "posto"? O "posto" de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. No caso, como a matriz tem 3 linhas, o posto apenas pode ser 0,1,2,3 (mesmo 0 está excluído pois a única matriz com posto 0 é a matriz nula). Agora dois factos relevantes:
1. A aplicação de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o valor do posto (op. elementares são a troca de linhas, multiplicação de uma linha por uma constante não nula, e somar a uma linha um múltiplo de outra).
2. Se uma matriz estiver em "escada de linhas" (o primeiro elemento não nulo de cada linha deve estar mais à direita que o primeiro elemento não nulo da linha anterior), o posto é simplesmente o número de linhas não nulas.
No seu caso, veja que
\(\begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ -2&-6&0&4&-2\\ 1&3&2&3&9\end{matrix} \to \begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ 0 & 0&2&6&8\\ 0&0&1&2&4\end{matrix}\to \begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ 0 & 0&2&6&8\\ 0&0&0&-1&0\end{matrix}\)
A última matriz tem o mesmo posto que a primeira e está em forma de escada. Tendo 3 linhas não nulas, o posto é 3.
O posto é a dimensão da imagem, que é por isso 3. A dimensão do núcleo será a diferença entre o número de colunas e o posto, isto é, 2.
Muito obrigada!! E, realmente, eu só conhecia estes conceitos - com exceção do posto - para transformação linear, por isto estava achando estranho.
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