Transformação linear - Rotação
27 jan 2013, 16:07
Boa tarde,
Tenho muitas dúvidas em relação às rotações, ainda não encontrei nenhuma boa explicação e exercícios resolvidos. Por isso não consigo fazer o exercício seguinte.
Agradecido,
Tenho muitas dúvidas em relação às rotações, ainda não encontrei nenhuma boa explicação e exercícios resolvidos. Por isso não consigo fazer o exercício seguinte.
Agradecido,
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Re: Transformação linear - Rotação [resolvida]
28 jan 2013, 16:33
Sendo \(u =(u_x, u_y, u_z) \in \mathbb{R}^3\) um vector de norma 1, A matriz que representa uma rotação de \(\theta\) em torno de um eixo para lelo ao vector u é
\(R = \cos \theta I + \sin \theta [u]_{\times} +(1- \cos \theta) u \otimes u\)
em que
\(I = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array} \right), \qquad u \otimes u = \left(\begin{array}{ccc} u_x ^2 & u_x u_y & u_x u_z \\ u_x u_y & u_y^2 & u_y u_z \\ u_x u_z & u_z u_y & u_z^2 \end{array} \right), \qquad [u]_{\times} =\left(\begin{array}{ccc} 0 & -u_z & u_y \\ u_z & 0 & -u_x \\ -u_y & u_x & 0 \end{array} \right)\)
Ora, no caso particular que propõe, teremos \(u = (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})\), pelo que
\(R = \frac{3}{5} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array} \right)+ \frac{4}{5 \sqrt{3}} \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)+ \frac{6}{5} \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1& 1 & 1\end{array}\right)\)
\(R = \cos \theta I + \sin \theta [u]_{\times} +(1- \cos \theta) u \otimes u\)
em que
\(I = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array} \right), \qquad u \otimes u = \left(\begin{array}{ccc} u_x ^2 & u_x u_y & u_x u_z \\ u_x u_y & u_y^2 & u_y u_z \\ u_x u_z & u_z u_y & u_z^2 \end{array} \right), \qquad [u]_{\times} =\left(\begin{array}{ccc} 0 & -u_z & u_y \\ u_z & 0 & -u_x \\ -u_y & u_x & 0 \end{array} \right)\)
Ora, no caso particular que propõe, teremos \(u = (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})\), pelo que
\(R = \frac{3}{5} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array} \right)+ \frac{4}{5 \sqrt{3}} \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)+ \frac{6}{5} \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1& 1 & 1\end{array}\right)\)