Espaços vetoriais com produto interno

[PGFR]

Alguém pode ajudar? Não consigo encontrar o resultado. R: t>9

Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores genéricos do R2 , encontre os valores de t ∈ R
para os quais a funç ão <u, v> = x1y1 + tx2y2 é um produto interno em R2.

[Sobolev]

Dado um espaço vectorial real V, uma aplicação \(<\cdot,\cdot>: V \times V \to \mathbb{R}\) é um produto interno se e só se verifica as seguintes propriedades:

1) Positividade
\(<u,u> \ge 0 \quad e \quad <u,u> = 0 \Leftrightarrow u = 0\)

Neste caso,

\(<u,u> = u_1^2 + t u_2^2\)

Para esta quantidade verificar a propriedade acima devemos ter t > 0.

2) Simetria
\(<u,v> = <v,u>\)

Neste caso,

\(<u,v> = <v,u> \Leftrightarrow
u_1 v_1 + t u_2,v_2 = v_1 u_1 + t v_2 u_2\)

o que é sempre verificado.

3) Linearidade
\(\langle\alpha u + w, v\rangle = \alpha \langle u , v \rangle + \langle w , v \rangle\)

Neste caso,

\(\langle\alpha u+w, v\rangle = (\alpha u_1+w_1) v_1 + t(\alpha u_2+w_2) v_2 =
\alpha (u_1 v_1 + t u_2 v_2) + (w_1 v_1 + t w_2 v_2) = \alpha \langle u,u \rangle + \langle w,v \rangle\)
Pelo que a priopriedade 3) é sempre verificada.

Assim, a aplicação proposta define um produto interno em \(\mathbb{R}^2\) para qualquer t > 0.

[PGFR]

Foi o que eu pensei, mas o gabarito do exercício diz que t > 9 e não t > 0. Não entendo porque t > 9.

[Sobolev]

O gabarito está certamente errado... basta pensar que o produto interno usual corresponde a t = 1 ...

[PGFR]

Obrigada!!