Transformação da reflexão em relação a reta y=ax

[lulao]

Boa tarde, creio que esteja resolvendo de maneira errada esta questão, ja que ela fica enorme e creio que exista uma resposta mais simples:

"Determinar a transformação do R² que seja a reflexão em relação a reta y=ax e sua matriz em relação a base canonica"

Obrigado

[josesousa]

De acordo com a figura em anexo, sendo u=(1,a) o vetor orientador da reta,

p1' é a projeção de p1 na reta, e é dado por

\(p_1'=\left(\frac{p_1.u}{||u||^2} \right)u=\)
\(p_1'=\left(\frac{u.u^T}{||u||^2} \right)p_1\)

e

\((p_1'-p_1) = \left(\frac{u.u^T}{||u||^2} -1\right)p_1\)

Pela figura vê-se que

\(p_2 = p_1+2(p_1'-p_1)\)
\(p_2 = p_1+2 \left(\frac{u.u^T}{||u||^2} -1\right)p_1\)
\(p_2 = \left[-I+2 \left(\frac{u.u^T}{||u||^2} \right) \right]p_1\)

Para o u definido, pode-se escrever o termo em parêntesis em forma matricial

Anexos

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