Funcional linear

[Walter R]

Encontrei o seguinte exercício sobre álgebra linear. O enunciado é o seguinte:

"Seja \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) um funcional linear não-nulo no espaço vetorial \(E\), de dimensão \(n\). Prove que existe uma base \(\left \{ u_1 ... u_n \right \}\)\(\subset E\), tal que\(f(u_{1})=...=f(u_{n-1})=0\) e \(f(u_{n})=1\)".

O exercício ainda dá uma dica, que é esta: tomar \(u_{i}=v_{i}-\frac{f(v_{i})}{f(v_{n})}v_{n};(i=1,...,n-1);u_{n}=\frac{v_{n}}{f(v_{n})}\), onde \(\left \{ v_{1},...,v_{n} \right \}\) é uma base qualquer de \(E\).

Não consegui concluir. Alguém poderia ajudar?

[josesousa]

Tente olhar para a decomposição de Cauchy Schwarz, que vai ajudar

[npl]

Caro Walter

Se o funcional linear é não-singular/nulo,
como é que o resultado do funcional linear aplicado a alguns vectores da base dão como resultado 0?

Aquilo que escreve mais abaixo parece-me ter a ver a com a ortogonalização de Gram-Schmidt, mas não me parece que possa ser exactamente nos termos que descreve, conforme a minha pergunta anterior sugere.

Outra pergunta poderia ser, como se divide um vector pelo resultado do funcional linear aplicado a outro vector?

[Rui Carpentier]

Se o funcional linear é não-singular/nulo,
como é que o resultado do funcional linear aplicado a alguns vectores da base dão como resultado 0?

Um funcional f só é nulo se f(v)=0 para todo o vetor v, basta que exista um vetor \(v\in E\) tal que \(f(v)\not=0\) para que o funcional seja não-nulo.

Assim sendo, dada uma base \(\{v_1, \dots, v_n\}\) de \(E\) existe um elemento (podemos supor \(v_n\)) tal que \(f(v_n)\not=0\) (se f se anulasse em toda a base f seria um funcional nulo).
Agora é só definir uma nova base no modo como é indicado na dica:

\(u_i=v_i -\frac{f(v_i)}{f(v_n)}v_n\) se \(i\not= n\), \(u_n=\frac{v_n}{f(v_n)}\)

E verificar duas coisas:

(1) Que \(\{u_1,\dots ,u_n\}\) satisfaz o que pedido (é só usar o facto de f ser linear e fazer as contas).

(2) Que \(\{u_1,\dots ,u_n\}\) definido daquela forma é uma base (é só ver que a matriz mudança de base é não-singular).

[npl]

Se o funcional linear é não-singular/nulo,
como é que o resultado do funcional linear aplicado a alguns vectores da base dão como resultado 0?

Um funcional f só é nulo se f(v)=0 para todo o vetor v, basta que exista um vetor \(v\in E\) tal que \(f(v)\not=0\) para que o funcional seja não-nulo.

Bom vou então expor uma citação do meu livro de álgebra linear para tentarmos esclarecer esta definição:

"Diz-se que uma transformação linear F: V -> U é singular se existe v \(\epsilon\) V sendo v \(\neq\) 0 mas F(v)=0.

Cumprimentos,
NPL.

[Rui Carpentier]

Caro NPL,

Na questão inicial não é dito que o funcional tenha que ser não-singular, até porque não faz muito sentido. Um funcional é por definição uma transformação linear com domínio num espaço linear E (sobre um corpo K) e contradomínio no corpo K (o corpo associado ao espaço linear E), assim sendo um funcional num espaço de dimensão superior a um é sempre uma transformação linear singular.
Espero que tenha resolvido a sua dúvida.

Cumprimentos,
Rui Carpentier

[npl]

Seja \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) um funcional linear não-nulo

Na questão inicial não é dito que o funcional tenha que ser não-singular

??

Não se entende por "não-nulo" o mesmo que "não-singular"?

Quando tiver mais tempo observo isto com mais atenção.
Obrigado pela resposta Rui Carpentier!
Cumprimentos,
NPL.