Espaços vetoriais e aplicações lineares - monomorfismos

[JessicaAraujo]

Olá, podem me dar uma ajuda?

Sejam U e V espaços vetoriais, e seja T: U → V uma aplicação linear. Mostre que as duas proposições são equivalentes:

a) Se u for um elemento de U tal que T(u)= 0, então u=0

b) Se u₁ e u₂ forem elementos de U tais que T(u₁)=T(u₂), então u₁ = u₂

[FernandoMartins]

Olá JessicaAraujo

Sejam U e V espaços vectoriais (e.v.), e seja T: U → V uma aplicação linear (a.l.). Mostre que as duas proposições são equivalentes:
a) Se u for um elemento de U tal que T(u)= 0, então u=0
b) Se u1 e u2 forem elementos de U tais que T(u1)=T(u2), então u1 = u2

∆:
(a) => b)?) Supondo que a) é verdade, e tomando u1 e u2 vectores quaisquer de U, tais que T(u1)=T(u2), então T(u1)=T(u2) => T(u1)-T(u2)=0 => (T é a.l.) T(u1-u2)=0 => (por a) u1-u2=0 => u1=u2 .

(b) => a)?) Supondo que b) é verdade, e tomando u vector qualquer de U, tal que T(u)=0, então, porque U é e.v. existem u1 e u2 em U tais que u=u1-u2 => T(u)=T(u1-u2)=T(u1)-T(u2)=0 => T(u1)=T(u2) => (por b) u1=u2 => u=0 .

c.q.d.

Bom estudo