Considere o espaco vetorial M3x3 (M3x3 = (matrizes de ordem 3x3), com as operacões usuais. Seja D o subconjunto...

[NiGoRi]

Olá, pessoal.

Vocês podem me ajudar nessa questão?

Anexos

[mpereira]

Tens de entender uma matriz diagonal como uma matriz cuja diagonal possa assumir quaisquer valores, inclusivé 0. Assim, para mostrares que é subespaço vectorial tens só de mostrar que o elemento nulo de \(M_{3\times 3}\) pertence a D e que D é fechado para a soma e para o produto por escalares (estás familiarizado com estes dois conceitos?). Na segunda questão, podemos construir uma base pseudo-canónica, que seriam três matrizes, três por três, cada uma com um 1 numa diferente posição da diagonal.

[NiGoRi]

Não consigo visualizar bem isto que você me apontou.
Pode me dar exemplos?

Att.

Nilson

[mpereira]

Temos que \(M_{3 \times 3}\) é um espaço vectorial e D é um subconjunto deste. Assim, se se verificarem as seguintes condições, mostramos que D é subespaço vectorial de \(M_{3 \times 3}\):
1) O elemento nulo de V está em D.
2) Se u ∈ D e v ∈ S então u + v ∈ D.
3) Se u ∈ D e a ∈ R então a*u∈D.
A demonstração passa mesmo por isto, a matriz com todas as entradas nulas pertence claramente a D, logo 1) é trivial.
Sejam agora U e V duas matrizes em D, (e desenhas mesmo as matrizes tipo:
\(\\ \begin{bmatrix} u_1&0 & 0\\ 0&u_2 & 0\\ 0&0 & u_3 \end{bmatrix}\\\)
Depois somas as duas matrizes e claramente que a soma destas será uma diagonal, portanto pertencente a D. E de forma análoga para 3).
Em relação ao segundo exercício, é como calcular uma base para um exercício com vectores:\(\begin{bmatrix} u_1 & 0 &0 \\ 0 & u_2 &0 \\ 0 & 0 & u_3 \end{bmatrix} =u_1* \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + u_2*\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +u_3*\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Logo estas três matrizes constituem uma base do subespaço vectorial D.