transformações lineares
13 dez 2013, 13:50
Seja V um espaço vetorial, e seja T:V->V uma transformação linear injetiva.
Se (v1, v2,....,vn) V é um conjunto LI, então o conjunto (T(v1), T(v2),...,T(vn)) também é LI? Justifique.
Se (v1, v2,....,vn) V é um conjunto LI, então o conjunto (T(v1), T(v2),...,T(vn)) também é LI? Justifique.
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Re: transformações lineares
13 dez 2013, 14:11
Sim. De facto, o conjunto referido apenas seria linearmente dependente se existissem constantes \(c_1, \cdots, c_n\), não simultaneamente nulas, tais que
\(c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + \cdots c_n T(v_n) = 0 \Leftrightarrow
T(c_1 v_1) + \cdots + T(c_n v_n) = 0 \Leftrightarrow
T(c_1 v_1 + \cdots c_n v_n) = 0\)
mas como T é injectiva a última igualdade é equivalente a
\(c_1 v_1 + \cdots c_n v_n = 0\)
o que significa que o conjunto \(\{v_1, \cdots, v_n\}\) seria linearmente dependente. Como tal não acontece, só podemos concluir que o conjunto \(\{T(v_1), \cdots , T(v_n)\}\) é na verdade linearmente independente.
\(c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + \cdots c_n T(v_n) = 0 \Leftrightarrow
T(c_1 v_1) + \cdots + T(c_n v_n) = 0 \Leftrightarrow
T(c_1 v_1 + \cdots c_n v_n) = 0\)
mas como T é injectiva a última igualdade é equivalente a
\(c_1 v_1 + \cdots c_n v_n = 0\)
o que significa que o conjunto \(\{v_1, \cdots, v_n\}\) seria linearmente dependente. Como tal não acontece, só podemos concluir que o conjunto \(\{T(v_1), \cdots , T(v_n)\}\) é na verdade linearmente independente.