Matriz B que representa T na base b {(1,0,0), (0,1,1), (0,1,-1)}

[ARGA]

Será que alguém poderia ajudar-me nesta questão?

Seja T uma transformação linear de IR3 em IR3 definida:
T ( x1,x2,x3) = (x1, x2 + x3, x2-x3) e seja ainda a base b = {(1,0,0), (0,1,1), (0, 1, -1)}
Qual a matriz B que representa T na base b (tanto no espaço de partida como de chegada) ?

[josesousa]

Na base canónica, T é dada por

\(A = \[
\begin{array}{lcr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\]\)

Para calcular T na base dada, temos de usar o teorema da mudança de base para transformações lineares.
Seja P a matriz de mudança da nova base para a base canónica (repare que será igual à matriz anterior):

\(P=
\[
\begin{array}{lcr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{array}
\]\)

Então, na nova base, a matriz A' que representa T é dada pela seguinte mudança de base:

\(A'=P^{-1}AP = P^{-1}PP=P=A\)