Autovalores e autovetores

[Marco.09]

Olá amigos, estou com uma pequena dúvida em relação a alguns casos para descobrir os autovalores e autovetores, quem puder me ajudar, fico muito grato.

Primeiramente, gostaria de saber se há maneiras de calcular os autovetores e autovalores para uma matriz nula, por exemplo:

\(\begin{bmatrix} 0 & 0& 0\\ 0 & 0 &0 \\ 0 &0 & 0 \end{bmatrix}\)

E também gostaria de saber se há como calcular os autovetores e autovalores para uma matriz em que todos seus elementos são iguais, por exemplo:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1&1 \end{bmatrix}\)
Nesta eu encontro autovalor igual a zero, e foi me informado que um autovalor não pode ser igual a zero.

Desde já, obrigado!

[Sobolev]

Boa noite Marco,

Em primeiro lugar devo lhe dizer que um autovalor pode ser zero... Um certo número real k é autovalor da matriz A se |A-k Id| = 0, isto é, se a matriz A - k Id não tiver inversa, ou ainda se o sistema Au = ku tiver soluções não triviais(não nulas). Os autovectores associados a k são precisamente uma base do espaço das soluções do sistema Au = ku.

Assim vê que a matriz nula tem um único autovalor, que é zero.

Em relação à matriz que fala, os seus autovalores são as soluções de

\(|A - k Id| = 0 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{cc} 1-k & 1 \\ 1 & 1-k\end{array}\right| = 0 \Leftrightarrow (1-k)^2-1 = 0 \Leftrightarrow k=0 \vee k=2\)

Repare que k=0 teria sempre que ser autovalor já que a matriz não tem inversa.