Calculo de Base de uma Matriz?

[hsmofm]

Peço desculpa mas a minha questão pode parecer muito básica...

Mas imaginemos B=(-1,1,0),(2,0,1)(0,1,1) e B'=(1,-1,0),(1,0,1),(1,2,0) são bases de R3?

O que eu faria era:
\(b=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\(b'=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\)

Entao vou verificar se B LI:

L2=l2+2l1

\(b=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

l3=l3-1/2l2

\(b=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}\)

Daqui concluo que B é LI pq não tem vetores a 000

Entao vou verificar se B' LI:

l2=l2-l1
\(b'=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\)

l3=l3-l1
\(b'=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
l3=l3+l2
\(b'=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

neste caso tb seria LI

Será que estou correcto é pq já vi soluções diferentes por exemplo no final:.

\(B=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
e
\(B'=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}\)

Esta é a minha duvida...


O que será que fiz mal????????

[João P. Ferreira]

Não percebi a sua dúvida.

Há infinitas combinações de três vetores que formam bases para \(R^3\). Não há apenas uma base única para \(R^3\)

O seu método está correto, é colocar os vetores em linhas ou colunas numa matriz, condensar a matriz, e ver se não há linhas ou colunas a zeros. Caso não hajam, estamos perante vetores linearmente independentes, e como são três vetores, cada um com três variáveis, formam uma base de \(R^3\)