Sejam F e G Sub Espaços de R3 tais que dim(F)=2 e dim(g)=2 então?

[hsmofm]

Qual a dimensão de F+G?

Qual a dimensão de F \(\cap\) G?

Na minha opinião a dimensão de f + g sera 3 pq são subespaços de r3, correcto?

Mas não percebo f \(\cap\) g???

[Rui Carpentier]

Não é dito se F e G são distintos ou podem ser iguais. Vamos supor que são distintos, até porque o outro caso é trivial (\(F=G\Rightarrow F+G=F\cap G=F=G\)). Nesse caso, sendo F e G distintos e com \(\dim F=\dim G\), temos que \(F\subset F+G\subseteq \mathbb{R}^3\). Logo \(\dim F<\dim (F+G)\leq \dim (\mathbb{R}^3)\) o que implica que \(\dim (F+G)=3\).
Além disso quaisquer subespaços vetoreais F e G satisfazem a condição \(\dim (F+G)+\dim (F\cap G)= \dim F +\dim G\) donde é fácil tirar a dimensão de \(F\cap G\).

Spoiler:

\(\dim (F\cap G)=1\).

[hsmofm]

peço desculpa mas ainda não cheguei la....

COmo calculo=?

[Rui Carpentier]

Se já sabe o valor de \(\dim(F+G)\) e os valores de \(\dim F\) e \(\dim G\) então é só substituir na equação \(\dim(F+G)+\dim(F\cap G)=\dim(F)+\dim(G)\) e determina o valor de \(\dim(F\cap G)\).

[hsmofm]

Obrigado.... às vezes estas coisas básicas é que nos falham......