Transformação linear e verificação se é injetora e sobrejetora

[Messilionel]

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[santhiago]

Observe que os vetores \((-2,3)\) e \((1,-2)\) não são múltiplos escalares um do outro , assim o conjunto \(A=\{(-2,3) , (1,-2) \}\) é L.I o que é suficiente dizer que este conjunto gera o \(\mathbb{R}^2\) , (pois número de elementos de \(A \subset \mathbb{R}^2\) é igual a \(2 = dim (\mathbb{R}^2)\) ) .

Então , dado \((x,y) \mathbb{R}^2)\) ,existem \(\alpha , \beta \in \mathbb{R}\) tais que

\((x,y) = \alpha(2,-3) + \beta(1,-2) (*)\) e com isso

\(T(x,y) = \alpha T(2,-3) + \beta T(1,-2) = \alpha (-1,0,1 ) + \beta(0,-1,0)\) .

Para encontra \(\alpha , \beta\) basta resolver \((*)\) .


Alternativamente , poderíamos pensar o que a transformação faz com os vetores canônicos do \(\mathbb{R^2}\) , para isto , basta resolver o sistema


\(\begin{cases} (-1,0,1 ) = T(2,-3) = T[2(1,0) -3(0,1)] = 2T(1,0) -3T(0,1) \\ (0,-1,0) = T(1,-2) = T(1,0) -2T(0,1) \end{cases}\) .

[Messilionel]

Eu fiz tudo que falou você consiguiu chegar nas soluções para ver se fiz corretamente?

[santhiago]

Utilizando o segundo método encontrei

\(T(0,1) = (0,2,1)\) e \(T(1,0)= (0,3,2)\) . Consequentemente , temos

\(T x,y) \mapsto x(0,3,2) + y (0,2,1)\) .


Pois , multiplicando-se a segunda eq. por \(- 2\) e somando-se a primeira temos

\(\begin{cases} (-1,0,1 ) = T(2,-3) = T[2(1,0) -3(0,1)] = 2T(1,0) -3T(0,1) \\ (0,-1,0) = T(1,-2) = T(1,0) -2T(0,1) \end{cases}\) .


\(-2 (0,-1,0) + (-1,0,1 ) = (0,2,1) = -2[ T(1,0) -2T(0,1) ] +2T(1,0) -3T(0,1) = T(0,1)\) .

Usando o resultado acima , temos \(T(1,0) = 2T(0,1) + (0,-1,0) = (0,3,2)\)










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