mostre que v1=(1,6,4) e v2=(2,4,-1) e v3=(-1,2,5) geram o mesmo subespaço vetorial de r3 que os vetores w1=(1,-2,-5) e w

[mateus loji]

mostre que v1=(1,6,4) e v2=(2,4,-1) e v3=(-1,2,5) geram o mesmo subespaço vetorial de r3 que os vetores w1=(1,-2,-5) e w2=(0,8,9)

[mpereira]

\(\begin{bmatrix} 1 & 6 & 4\\ 2 & 4 & -1\\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\overset{L_3=L_3+L_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 6 & 4\\ 2 & 4 & -1\\ 0 & 8 & 9 \end{bmatrix}\overset{L_2=L_2-2L_1 \wedge L_2=-L_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 6 & 4\\ 0 & 8 & 9\\ 0 & 8 & 9 \end{bmatrix}\overset{L_1=L_1-L_2 \wedge L_3=L_3-L_2 } {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -5\\ 0 & 8 & 9\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
Assim, se temos que o subespaço gerado pelos três vectores iniciais é igual ao subespaço vectorial de R^3 gerado pelos vectores \(w_1=(1,-2,-5)\) e \(w_2=(0,8,9)\); dado que v_3 acabava por ser combinação linear de v_1 e v_2.