Soma direta entre subespaços vetoriais:

[rodrigoorgidor]

. Sejam W1,W2 e W3 os seguintes subespacos de R3
:
W1 = {(x; y; z) : x = z} ; W2 = {(x; y; z) : x = y = 0} ;
W3 = {(x; y; z) : x + y + z = 0} :
E verdade que  W1 +W2 = W1 +W3 = W2 +W3 = R3?
Em algum dos casos a soma
e direta?
Como faço? Obrigado

[Sobolev]

A soma de dois subespaços de \(\mathbb{R}^3\), digamos U,V é directa se e só se \(U\cap V = \{ 0\}\). Neste caso:

\(W_1 \cap W_2 = \{ 0 \}\), porque os elementos de W_2 têm as duas primeiras componentes nulas, os de W_1 têm a terceira componente igual à primeira, donde os elementos que pertencem simultaneamente aos dois espaços têm todos as componentes nulas. Assim a soma destes dois espaços é directa (isto quer dizer que todo o elemento do espaço soma se escreve de modo único como a soma de elementos dos espaços que lhe dão origem). De modo semelhante poderá verificar os restantes.

Falta ver a questão inicial, isto é, se as somas dadas são ou não todo o espaço \(\mathbb{R}^3\). Vejamos o primeiro caso:

\(W_1+W_2 = \{ \vec{u} \in \mathbb{R}^3: \vec{u} = \vec{x}+\vec{y}, \quad x_1=x_3,\quad y_1=y_2=0\}\)

Os elementos da soma são então da forma

\((\alpha, \beta, \alpha) + (0,0,\gamma) = (\alpha, \beta, \alpha+\gamma), \alpha,\beta, \gamma \in \mathbb{R}\)

Como qualquer vector de R^3 pode ser escrito nesta forma, realmente a soma destes dois subespaços é R^3.