Demonstração de Projeção Ortogonal única para um Subespaço dim finita

[deltasearch]

Demonstração do seguinte item:

"Seja V um espaço vetorial com produto interno <.,.> e W um subespaço de V com dimensão infinita. Então, dado v ∊ V, existe um único w ∊ W tal que v - w ∊ ComplementoOrtogonal de W. Denotando w como projeção ortogonal de v sobre W."


Minha dificuldade está na justificação (demonstração) de que para subespaços de dim finita como W, para cada v ∊ V há somente uma projeção ortogonal sobre W.


Obrigado

[Rui Carpentier]

Seja w e w' duas projeções ortogonais de v em W. Ou seja, v-w e v-w' são ortogonais a W. Então w'-w=(v-w)-(v-w') é também ortogonal a W. Mas como w'-w pertence também a W resulta que w'-w=0 logo w'=w (as projeções são uma só).