A norma de uma transformação linear

[Walter R]

Boa noite a todos. Gostaria que alguém conferisse minha solução para o item a) do problema abaixo, e me desse alguma dica para resolver os itens b e c:

Enunciado: "seja \(L(R^m;R^n)=R^{nm}\) o espaço vetorial de todas as transformações lineares \(A:R^m\rightarrow R^n\).

a) Prove que, em relação a este espaço vetorial, \(||A||=\sup\left \{ |A.x|;x\in R^m,|x|=1 \right \}\) é uma norma.

b) Prove que \(||A.x||\leq||A||.||x||\) para todo \(x \in R^m\).

c) Prove que \(||A.B||\le||A||.||B||\) se \(A \in L(R^m;R^n)\) e \(B \in L(R^k;R^m)\).

Solução do item a): para provar que \(||\) \(||\) é uma norma, basta provar que
i) \(||A+B||\leq||A||+||B||\)

prova: \(||A+B||=\sup_{|x|=1}|(A+B)x|=\sup_{|x|=1}|Ax+Bx|\leq \sup_{|x|=1}|Ax|+\sup_{|x|=1}|Bx|=||A||+||B||\).

ii) \(||\alpha A||=||\alpha||.||A||\)

prova: \(||\alpha A||=\sup_{|x|=1}|\alpha Ax|=||\alpha||\sup_{|x|=1}|Ax|=||\alpha||.||A||\)


iii) \(A \neq 0\Rightarrow ||A||>0\).

prova: se \(A \neq 0\),então \(||A||=\sup_{|x|=1}|Ax|>0\)


Solução do item b): Como toda transformação linear é de Lipshitz, segue que dada \(A:R^m\rightarrow R^n, \exists c>0\) tal que \(|A.x|\leq c|x|\), para todo \(x \in R^m\). Isto vale para qualquer norma, em particular também é válido para \(||A.x|| \leq c||x||\). Agora, se eu pudesse provar que \(||A||=c\) estaria feito. MAs acontece que \(||A||=\sup_{|x|=1}|Ax|\leq \sup_{|x|=1}c|x|=c\).

[Rui Carpentier]

Quanto à alínea a parece-me bem com exceção do ponto iii onde juntaria um passo intermédio:
Se \(A\not=0\) então existe \(x\not=0\) tal que \(Ax\not=0\) logo ...

Dica para a alínea b: mostre que, para \(x\not=0\), \(\left\| A\frac{x}{||x||}\right\|\leq ||A||\) (é só usar a definição da norma)

Dica para a alínea c: use a alínea b com \(||x||=1\): \(||(AB)x||=||A(Bx)||\leq ||A||\cdot ||Bx|| \dots\)

[Walter R]

Boa tarde Rui. Restou apenas uma dúvida no item c.
\(||(AB)x||=||A(Bx)||\le ||A||.||Bx||\le ||A||.||B||.||x||=||A||.||B||\)(tomando \(||x||=1\)).
\(||(AB)x|| \le ||AB||.||x||=||AB||\), tomando \(||x||=1\), e o resultado não segue.

[Sobolev]

Bom dia Walter,

O conclusão da sua última linha é simplesmente que \(||AB|| \leq ||A B||\), o que é verdade, apesar de não ser útil... Mas a primeira é suficiente para provar o que pretende.

[Rui Carpentier]

Boa tarde Rui. Restou apenas uma dúvida no item c.
\(||(AB)x||=||A(Bx)||\le ||A||.||Bx||\le ||A||.||B||.||x||=||A||.||B||\)(tomando \(||x||=1\)).
\(||(AB)x|| \le ||AB||.||x||=||AB||\), tomando \(||x||=1\), e o resultado não segue.

Olá Walter
O que esta desigualdade (a 1ª) prova é que \(||A||\cdot ||B||\) é majorante do conjunto \(\{||(AB)x||: ||x||=1\}\). Se olhares para a definição de \(||AB||\) a desigualdade \(||AB||\leq ||A||\cdot ||B||\) sai imediatamente.