Autovalor e Autovetor de um Polinomio

[Alice]

Olá a todos!

Eu estou com uma dúvida no seguinte problema, pede para achar o autovalor, o autovetor e o subespaço associado à seguinte transformação linear:

T: P2(R) → P2(R), T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b

Se puderem me ensinar a achar só o autovalor, o resto eu encontro sozinha...

Brigada!

[Sobolev]

O espaço dos polinómios de grau menor ou igual a dois é isomorfo a \(\mathbb{R}^3\)... Pode estudar de modo equivalente a transformação \(T: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3\) tal que \(T(a,b,c)=(a,c,b)\).

[Alice]

Sim, eu sei disso, porém partindo por esta resposta, ao montar a matriz e resolver o valor dos autovalores não bate com o gabarito.

[Sobolev]

Se quiser pode também aplicar directamente a definição de autovalor...

\(T(ax^2+bx+c)= \lambda(ax^2+bx+c) \Leftrightarrow ax^2+cx+b = \lambda a x^2 +\lambda b x +\lambda c\)

Desta última igualdade conclui que, se \(a\ne 0\), o autovalor tem que ser 1. Se \(a =0, b \ne 0\), novamente o autovalor deve ser um. Se \(a=b=0\) então c deve ser não nulo e novamente se conclui que o autovalor é 1. Resumindo, em qualquer caso o autovalor é 1.

[Alice]

Muito obrigado por sua resposta!