algebra linear e espaços vetorial

[tiberio]

1) sejam V = F(R,R) o espaço vetorial de todas as funções reais e r ∈ R*+ fixado, Mostre que o conjuntos Wr = {f ∈ V : f (x) = 0. ∀ x ∈ [-r,r]} é um subespaço de V.

[Sobolev]

Tem apenas que mostrar que \(W_r\) é fechado para as operações do espaço vectorial (soma de vectores e multiplicação por escalares). De facto, se \(f,g \in W_r\) e \(\alpha \in \mathbb{R}\) então

\(x \in [-r,r] \Rightarrow f(x)+g(x) = 0 + 0 = \mathrm{0}\)

\(x \in [-r,r] \Rightarrow \alpha f(x) = \alpha \times 0 = \mathrm{0}\)

Deste modo conclui que qualquer combinação linear de elementos de \(W_r\) está ainda em \(W_r\), o que mostra que se trata de um subespaço.