Soma direta de espaços vetoriais

[Nickzim]

Bom, estou em uma situação de complicada, faço engenharia e o cara anda utilizando bibliografia que não se encontra na ementa, e além do fato de não explicar a matéria direito o cara cobra exercícios bem complicados, então quem me ajudar com esse exercício vai me ajudar muito hahaha. Bom, vamos lá:

Seja W um espaço de F8, onde F é um corpo com 2 elementos apenas. Considere o conjunto

U = {(u1, . . . , u8) ∈ F8; u1w1 + ⋯u8w8 = 0 para todo (w1, . . . , wn) ∈ W}.

(a) Mostre que U é um subspaço vetorial de F8.

(b) E verdade que F8 = U ⊕ W?

(c) Quantos pares de subespaços (W, U) com U,W ⊆ F8 existem satisfazendo U = W?

[Rui Carpentier]

a) Esta questão é bastante fácil, tudo o que há a fazer para verificar que um conjunto é um subespaço é mostrar que é fechado para a soma e para a multiplicação por escalares (no caso do corpo com 2 elementos basta apenas o fecho para a soma pois o fecho por multiplicação por escalares resulta do fecho para a soma). Exercício.

b) Dois espaços vetoriais são isomorfos se e só se ambos têm a mesma dimensão. Portanto a questão é \(\dim (U\oplus W)=\dim (\mathbb{F}^8)=8\)?
Ora \(\dim (U\oplus W)=\dim (U)+\dim (W)\). Se considerarmos uma matriz M cujas linhas formam uma base de W temos que o espaço de linhas de M é W e o espaço nulo é U. Assim sendo, dim(W)=car(M) (característica ou rank* da matriz) e dim(U)=nul(M) (nulidade* da matriz).
Da identidade car(M)+nul(M)=nº de colunas de M resulta a resposta pela afirmativa da questão.

* não sei qual a nomenclatura usada na Brasil

c) Esta é a questão mais difícil. Pela alínea b) sabemos que tais subespaços terão de ter dimensão 4. Não é difícil mostrar que se um subespaço W é gerado por quatro vetores cada um com duas entradas 1 e as restantes 0 de modo que os conjuntos das coordenadas 1 dos vetores formam uma partição de {1,2,3,4,5,6,7,8}, por exemplo {(1,1,0,0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,1,1,0,0),(0,0,0,0,0,0,1,1)} ou {(1,0,0,0,1,0,0,0),(0,1,0,0,0,1,0,0),(0,0,1,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1,1)}, então esse espaço satisfaz W=U. Portanto há pelo menos \(\frac{1}{4!}{8\choose 2,2,2,2}=105\) espaços desse tipo. Mas há mais além desses (por exemplo o espaço gerado por {(1,1,1,1,0,0,0,0),(0,0,1,1,1,1,0,0),(1,0,0,1,1,0,0,1),(0,0,0,0,1,1,1,1)}). Quantos ao certo neste momento não sei.