Seja V o espaco das matrizes (2,2) com entradas reais, e seja W o subspaco gerado por..?

[anaapaulaa]

|1 -5| , |1 1| , |2 -4| , | 1 -7|
|-4 2 | |-1 5| |-5 7| |-5 1|


Encontre uma base e a dimensão de W.

[Sobolev]

Pode começar por considerar uma base de M(2,2) constituída pelas matrizes

\(\left( \begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \left( \begin{array} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \left( \begin{array} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \left( \begin{array} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\)

Fixada esta base, os vectores que representam cada uma das matrizes indicadas no enunciado são

\((1, -5, -4, 2), \quad (1,1,-1,5), \quad (2,-4,-5,7), \quad (1,-7,-1,5)\)

Se proceder à condensação da matriz 4x4 cujas linhas são estes vectores verá que consegue anular a última linha, obtendo uma matriz com característica 3. Isto indica que o subsespaço em causa tem dimensão 3. Por outro lado, se não tivesse incluído a última linha (ou seja, a última matriz), a característica seria ainda 3. Ora, se W tem dimensão 3 e as primeiras três matrizes indicadas no enunciado são linearmente independentes, elas formam um base de W.