Subespaços vetoriais e Aplicações lineares

[joaozx]

Boa Noite,
Alguém me pode resolver os dois exercícios que coloquei em anexo? Um relativo a subespaços vetoriais e um outro relativo a aplicações lineares.
Obrigado.

Anexos

[Baltuilhe]

Boa noite!

4)
a)
\(\left [f \right] =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\)
\(f(x,y) =(x,y, x-y, x+y)\)

b) Núcleo de f: valores de (x,y) que levam a (0,0,0,0)
\(f(x,y) =(0,0,0,0)
(x,y, x-y, x+y)=(0,0,0,0)
\left { {x=0
y=0
x-y=0
x+y=0}\)

Solução:
\(x=0
y=0\)

c)
Como o Núcleo contém somente o vetor NULO a função é INJETORA.
Pelo teorema do núcleo e imagem e supondo \(f:V \rightarrow W\)
\(dim(V)=dim(Nuc(f))+dim(Img(f))
dim(V)=2
dim(Nuc(f))=0
dim(Img(f))=2\)

Para que a função seja SOBREJETORA teríamos que ter:
\(dim(Img(f))=dim(W)
dim(W)=4\)
Então a função NÃO é SOBREJETORA.

d)
\(\left [f(1,1) \right ] = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}\)
\(f(1,1)=(1,1,1-1,1+1)
f(1,1)=(1,1,0,2)
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
y\\
x+y\\
z\\
-z+t
\end{pmatrix}
y=1
x+y=1, x=0
z=0
-z+t=2, t=2
{\left [ f(1,1) \right ]}_B=(0,1,0,2)\)