Combinação Linear do vetor v

[danjr5]

Determine \(m \in \mathbb{R}\) tal que o vetor \(v = (1, - m, 3)\) seja combinação linear dos vetores \(v_1 = (1, 0, 2)\), \(v_2 = (1, 1, 1)\) e \(v_3 = (2, - 1, 5)\).

[danpoi]

Ola,
Se pode escreber
\(\begin{bmatrix}
1\\
m\\
3
\end{bmatrix} = C_{1}\begin{bmatrix}
1\\
0\\
2
\end{bmatrix} + C_{2}\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix} + C_{3}\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
5
\end{bmatrix}\) onde \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) são coeficentes lineales
As componentes dos vetores são
\(\begin{cases}
1 = C_{1} + C_{2}+ 2C_{3}\\
-m = C_{2}- C_{3}\\
3 = 2C_{1}+ C_{2}+ 5C_{3}
\end{cases}\)
Se multiplica a primera ecuacão por 2, temos então
\(\begin{cases}
2 = 2C_{1} + 2C_{2}+ 4C_{3}\\
-m = C_{2}- C_{3}\\
3 = 2C_{1}+ C_{2}+ 5C_{3}
\end{cases}\)
Fazer (1)-(3):\(2 - 3 = 2C_{2}- C_{2} + 4C_{3}- 5C_{3}\)
Ou \(-1 = C_{2} - C_{3}\).
Pela identifiçao com a segunda ecuacão. obtemos \(C_{2} - C_{3} = -1 = -m\)
Então \(m = 1\)
Listo!!

[danjr5]

Olá Danpoi, boa tarde!

Também encontrei esse valor como resposta, entretanto, no gabarito consta \(m = - 1\). Deve ter sido algum erro de digitação!!

Grato.