Polinomio caracterisco | p(L)=(L-1)(L+1)^2
16 dez 2011, 23:55
Penso que a primeira esta certa e a segunda e a terceira estao erradas , mas nao tenho a certeza ! A quarta e' que nao sei como hei-de fazer .
Obrigado
Re: Polinomio caracterisco
17 dez 2011, 13:34
Provo-lhe que a primeira está certa
O espaço próprio de uma matriz \(A\) é o espaço \(x\) que respeita a igualdade
\(Ax=\lambda x\)
Desenvolvendo
\(Ax-\lambda x=0\)
\((A-\lambda I)x=0\)
Como sabemos pelo polinómio característico que \(-1\) é um valor próprio, subsituímos \(\lambda\) por \(-1\), ficando:
\((A+I)x=0\)
Sabemos então que o \(x\) que respeita equação anterior é um espaço próprio de \(A\); ora esse \(x\) pela definição de Núcelo, não é mais que o núcleo de \((A+I)\)
Assim, a primeira está certa
O espaço próprio de uma matriz \(A\) é o espaço \(x\) que respeita a igualdade
\(Ax=\lambda x\)
Desenvolvendo
\(Ax-\lambda x=0\)
\((A-\lambda I)x=0\)
Como sabemos pelo polinómio característico que \(-1\) é um valor próprio, subsituímos \(\lambda\) por \(-1\), ficando:
\((A+I)x=0\)
Sabemos então que o \(x\) que respeita equação anterior é um espaço próprio de \(A\); ora esse \(x\) pela definição de Núcelo, não é mais que o núcleo de \((A+I)\)
Assim, a primeira está certa
Re: Polinomio caracterisco
18 dez 2011, 14:11
Se \(det(I-A^3) = 0\) então, \((I-A^3)x=0\) tem um espaço nulo pelo menos de dimensão 1.
Mas \(I-A^3 = (I-A)(I+A+A^2)\)
ou seja,
\(det(I-A^3) = det((I-A)(I+A+A^2))=det(I-A)det(I+A+A^2)\)
e, sendo \(det(I-A)=0\), então essa afirmação também é verdadeira
Mas \(I-A^3 = (I-A)(I+A+A^2)\)
ou seja,
\(det(I-A^3) = det((I-A)(I+A+A^2))=det(I-A)det(I+A+A^2)\)
e, sendo \(det(I-A)=0\), então essa afirmação também é verdadeira