Determine uma base para os seguintes subespaços de R4:

[jvmseng@gmail.com]

Determine uma base e a dimensao do núcleo e da imagem para cada uma das transformacoes
lineares abaixo:

T : M2(R) → M2(R) dada por T(X) = MX + X onde M = |1 1|
|0 0|

[Sobolev]

Se escrever explicitamente a matriz MX+X = (M+I)X, verá que (M+I)X = 0 se e só se X = 0 ((M+I) é invertível). Assim o núcleo é constituido apenas pela matriz nula, tem dimensão 0. Em relação à imagem, pode ver que

\(T(X)=\left(\begin{array}{cc} 2x_{11}+x_{21} & 2x_{12}+x_{22}\\x_{21} & x_{22}\end{array}\right)\)

Se analisar, as entradas desta matriz podem tomar qualquer valor real, pelo que a imagem é o próprio espaço das matrizes 2x2 (dimensão 4). Pode escolher a base canónica.