Determine se as relações abaixo determinam uma transformação linear ou não.

[NiGoRi]

Boa noite a todos.

Tentei, mas não consegui resolver essa questão.

Anexos

[mpereira]

Dados dois espaços vectoriais, V e W, sobre um mesmo corpo (o que se verifica para ambos os casos), diz-se que uma transformação T de V em W é linear se:
\(\forall v,w \in V: T(v+w)= T(v)+ T(w);\)
\(\forall \alpha \in K, \forall v\in V: T(\alpha v)=\alpha T(v)\).
Agora é só aplicar a definição.
a)
Temos \(T(x,y)=3x-y\) e sejam v=(v1,v2) e w=(w1,w2) dois pontos de R2. Então:
\(T(v+w)=3(v_1+w_1)-(v_2+w_2)=3v_1 - v_2 + 3w_1-w_2=T(v)+T(w)\),
logo a primeira condição verifica-se (pode-se pegar numa expressão e tentar chegar à outra, como foi feito, ou pode-se desenvolver as duas expressões e verificar se são iguais). Para a segunda:
\(T(\alpha v)=3(\alpha v_1)-(\alpha v_2)=\alpha(3v_1 - v_2)=\alpha T(v)\).
Assim, a transformação é linear.
b) Sejam v, w dois pontos de R3, definidos analogamente ao exercício a), mas com três coordenadas cada.
Então,
\(T(v+w)=(v_1+w_1)^2+(v_2+w_2)^2+(v_3+w_3)^2= v_1^2+2v_1w_1+w_1^2+v_2^2+2v_2w_2+w_1^2+v_3^2+2v_3w_3+w_1^2=T(v)+T(w)+2v_1w_1+2v_2w_2+2v_3w_3\).
Logo,
\(T(v+w) \neq T(v)+T(w)\)
e assim a transformação não é linear.

[NiGoRi]

Obrigado.

Valeu mesmo.