Sobre a série dos inversos dos primos

[Vanderlucio]

Como sabemos, foi provado que a série dos inversos dos primos, isto é, a soma destes inversos é divergente, ou seja, tende ao infinito. Porém, quando eu resolvia um problema de teoria dos números, me deparei com a seguinte questão:achar o número primo \(p\) suficientemente grande para o qual, \(1/2+1/3+1/5+...+1/p>2,5\).
Eu ficaria muito grato se alguém que entendesse de programas de computador (que possam fazer essa conta), ou mesmo que saiba um pouco de teoria dos números pudesse me ajudar com a minha dúvida.
Desde já, agradeço!

Editado pela última vez por Vanderlucio em 20 dez 2013, 17:39, num total de 2 vezes.

[Sobolev]

Repare que uma vez que a série é divergente ( e que a sucessão das somas parciais tende para infinito) é sempre possível encontar um primo tal que a soma dos inversos de todos os primos até aí seja tão grande quanto quisermos. Se quisermos que a soma seja superior a 2.5 basta considerar os primeiros 1413 números primos.

Esta série, sendo divergente, diverge muito lentamente... Se somar os inversos dos primeiros 140000 primos obtem apenas um valor de 2.93167.

[Vanderlucio]

Sobolev, muito obrigado pela sua resposta. Esse resultado me ajudará a provar a solução de um problema que achei muito difícil. E, por curiosidade, também gostaria de saber qual programa usou para obtê-lo.
Grato!

[Sobolev]

Utilizei o Mathematica da Wolfram. O código segue abaixo:

Exemplo[soma_] := Module[{s,n},
s = 0;
n = 1;
While[s < soma,
s = s + 1/Prime[n];
n++];
Print["p=", n - 1];
]

No caso que colocou bastara executar o comando

Exemplo[2.5]