Mudança de Base Exercicio Completo....

[hsmofm]

Como resolver este exercício eu conheço a formula mudança de base mas a forma como me poem o exercício deixa-me baralhado...

Aplicação r3 -> r3

\(\left\{\begin{matrix} f(1,0,1)= &(1,2,3) \\ f(1,0,0)= & (3,-1,0)\\ f(0,1,1)= & (1,1,0) \end{matrix}\right.\)

a) Determine a expressão Gerão da aplicação f

b) Determine a Matriz A = M(f;B,B) que representa f relativamente à base canónica B de R3 na partida e na chegada

c) Defina os subespaços Nuc f e Im f. Determine uma base para Nuc f e determine uma base para Im f.

d) Determine uma Base para R3 que inclua uma base de Im f.


As minha duvidas começam logo ao olhar para o exercício, determinar a Base A, a transformação e o destino....
Depois tenho logo duvidas o que é a expressão Geral?
e nunca consegui perceber A= M(f;B,B)

[Walter R]

Olá! Acho melhor começar pelo item (b). A é uma matriz 3x3 pois a transformação vai do \(\mathbb{R}^3\) no \(\mathbb{R}^3\), então \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ a_{31} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ -1\\ 0\end{bmatrix}\). Repetindo o processo com os demais vetores, chegamos que \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 3 &-2 \\ -1 &-2 &3 \\ 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}\). Agora podes passar ao item (a). Consegues?

[hsmofm]

penso que sim a expressão seria:

(3x+3y-2z),(-x-2y+3z),(-3y+3z)

[Walter R]

Boa noite, hsmofm,
Desculpe-me pela demora na resposta.
Sim, é este o resultado. Mas não esqueça que é um vetor no \(\mathbb{R}^3\). Portanto, mais corretamente escrito assim: \((3x+3y-2z,-x-2y+3z,-3y+3z)\)
Abraço!