Determinar uma base para o subespaço

[Anna Menina]

Bom dia!!

Determinar uma base para o subespaço:

S = {(x, x+y, 2y), x,y E R} C R³.

[Walter R]

Boa noite! Para resolver este problema tens que encontrar um conjunto B de vetores que satisfaçam duas condições: a) os elementos de B devem gerar o subespaço vetorial; b) os elementos de B devem ser linearmente independentes.

Primeiro vamos determinar um conjunto de elementos geradores do subespaço \((x_1,x_2,x_3)\).A condição dada pode ser reescrita como \(x_2=x_1+\frac{x_3}{2}\).Façamos então a correspondência \((x_1,x_1+\frac{x_3}{2},x_3)=x_1(1,1,0)+x_2(0,0,0)+x_3(0,\frac{1}{2},1)\). Multiplicando o último vetor por dois, temos que \(B=\left \{ (1,1,0),(0,1,2) \right \}\) é um conjunto gerador do subespaço dado. Resta verifica se é linearmente independente. Precisamos verificar se \(\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,2)=(0,0,0)\Rightarrow \alpha,\beta=0\). Efetuando as multiplicações e as somas, chegamos no sistema:\(\left\{\begin{matrix} \alpha & &=0 \\ \alpha&+\beta &=0 \\ 2\beta & &=0 \end{matrix}\right.\), que implica evidentemente \(\alpha,\beta=0\), Logo \(B\) é uma base para o subespaço.