R² é um espaço vetorial?

[Luigi]

Seja \(V= \mathbb{R}^2\). Se \(u=(x_1, y_1)\) E \(V\) e \(v=(x_2, y_2)\) E \(V\), então \(V\), com as operações de adição:

\(u+v=(x_1+x_2, y_1+y_2)\)

e multiplicação por escalar:

\(ku=(x_1+k, y_1+k)\)

Com estas operações não usuais, \(\mathbb{R}^2\) é um espaço vetorial?
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OBS.: O E representa o simbolo pertence, não consegui encontrar ele no Editor de equações. Também não possuo gabarito.

Atenciosamente,
Luigi.

[Walter R]

sim, porque se \(k \in \mathbb{R}\), então \(x_1+k \in \mathbb{R}\) e \(y_1+k \in \mathbb{R}\), pois \(\mathbb{R}\) é um corpo, logo é fechado para soma. Então \(ku=(x_1+k,y_1+k) \in \mathbb{R}X\mathbb{R}=\mathbb{R}^2\).

Também temos que \(u+v \in \mathbb{R}^2\), pois \(x_1+x_2 \in \mathbb{R}\) e \(y_1+y_2 \in \mathbb{R}\).

[Luigi]

Eu pensei que nesse caso eu teria que aplicar os axiomas pra ver se dava certo.