Mais uma ajuda! Base para N(T) e Im(T)

[Heudes]

Boa noite galera, mais uma ajuda!
Tenho o seguinte exercicio:
Seja TL T: IR³ -> IR³ , T(x,y)=(2x - y, y + 3z, x - z). Determine uma base para N(T) e uma para Im(T).

Chego no sistema de equações
2x - y = 0
y + 3z = 0
x - z = 0

e na N(T)=[(1,2,1)]

Porém, verificando, o valor para y não bate na primeira e segunda equações.
Alguém pode me ajudar?
-----------------------------------------------
Descobri que a unica solução possível é (0,0,0).
Agora preciso descobrir como achar uma base de N(T) e de Im(T) que é [(2,0,1),(-1,1,0),(0,3,-1)]

[Filipe]

Como vc chegou à sentença a seguir?

2x - y = 0
y + 3z = 0
x - z = 0

[Polmax]

A base para o núcleo acho que esta certo não estou a ver nenhum problema
e a IM(T) = [(2,1),(-1,1),(3,-1)] se a aplicaçáo for de R3 para R2 acho
se não estou em erro