Matrizes de mudança

[nfsilva81]

Boas,

Alguem me ajuda com o seguinte problema:

Considere as bases de \(\mathbb{R}^{3}\) definidas por

\(B_{1}\) = \(\left ( \left ( 1,2,3 \right ),\left ( -1,0,1 \right ),\left ( 0,0,3 \right ) \right )\)

e

\(B_{2}\) = \(\left ( \left ( 2,1,1 \right ),\left ( 2,2,2 \right ),\left ( 3,3,0 \right ) \right )\)

Determine as matrizes de mudança de base de \(B_{1}\) para \(B_{2}\) e de \(B_{2}\) para \(B_{1}\).
Dado o vetor de coordenadas \(\left ( 1,1,1 \right )\) na base \(B_{2}\), determine as suas coordenadas na base \(B_{1}\).

Obrigado

[josesousa]

Para ser simples

\(B_1=L(v_1, v_2, v_3)\)
\(B_2=L(u_1, u_2, u_3)\)

temos o vector \(z_{B_2}=(1,1,1)\) na base \(B_2\)

Na base canónica será

\(z_{can}=M_{B_2 \to can}z_{B_2}\)

\(M_{B_2 \to can}=
\begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{bmatrix}\)

Depois passamos da base canónica para \(B_1\)

\(z_{B_1}=M_{can \to B_1}z_{can}\)

onde

\(M_{can \to B_1}=
\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}^{-1}\)

Ou seja, a matriz de mudança de base de \(B_2\) para \(B_1\) é

\(M_{can \to B_1}M_{B_2 \to can}\)

e de forma análoga, para a transformação inversa temos a inversa deste produto de matrizes

[takkinha]

Olá!

Não consigo perceber como determinar as coordenadas na base B₁, dado o vector de coordenadas (1,1,1) na base B₂.

[josesousa]

Para ser simples

\(B_1=L(v_1, v_2, v_3)\)
\(B_2=L(u_1, u_2, u_3)\)

temos o vector \(z_{B_2}=(1,1,1)\) na base \(B_2\)

Na base canónica será

\(z_{can}=M_{B_2 \to can}z_{B_2}\)

\(M_{B_2 \to can}=
\begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{bmatrix}\)

Depois passamos da base canónica para \(B_1\)

\(z_{B_1}=M_{can \to B_1}z_{can}\)

onde

\(M_{can \to B_1}=
\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}^{-1}\)

Ou seja, a matriz de mudança de base de \(B_2\) para \(B_1\) é

\(M_{can \to B_1}M_{B_2 \to can}\)

e de forma análoga, para a transformação inversa temos a inversa deste produto de matrizes

Temos então

\(v_{B_1}=M_{can \to B_1}M_{B_2 \to can}[1 & 1 & 1]^T\)