Diagonizável

[silvanuno11]

Boa noite,

Isto está a ficar complicado. Alguém me pode dar uma ajuda com esta pergunta?

Obrigado
NSilva

Anexos

[josesousa]

Caríssimo,

Tem que calcular primeiro os valores próprios resolvendo \(det(A-\lambda I)=0\)

Terá 2 valores próprios distintos: 1, com multiplicidade algébrica 2, e 2 com m. a. 1.

Para ser diagonalizável a multiplicidade geométrica relativa ao valor próprio 1 tem de ser igual a dois, isto é, a solução de
\((A-I)v=0\) resulta num espaço de dimensão 2. Neste caso, \((1, 0 , 0)\) e \((0,0,1)\) são os vectores próprios relativos ao valor próprio 1, por isso, é diagonalizável.

[silvanuno11]

Boa noite,

Na sugestão que me deu, disse-me para calcular os valores próprios, mas não estou a conseguir chegar aos seus números.
Poderá ajudar-me.

Obrigado
NSilva

[João P. Ferreira]

Caro NSilva, qual é a parte do exercício que não está a perceber?
Parece-me que com este esforço todo não estamos na realidade a ajudar o caro NSilva, limitando-nos a resolver exercícios sem que o caro NSilva perceba alguma coisa...

Mais uma vez redigo-o, não somos máquinas de resolver exercícios, somos professores e estamos aqui para ensinar e tirar dúvidas, o caro NSilva tem de corresponder com um pouco de esforço pessoal...

Sabemos, obeservando a função \(g\), que a matriz de transformação \(A\) é:

\(A=\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]\)

Vamos por partes meu caro, percebeu como chegámos até aqui a esta matriz \(A\) ?

Se percebeu responda-me como é que eu obtive a matriz \(A\)

[João P. Ferreira]

Para saber os valores próprios, deverá resolver esta equação:

\(|A-\lambda I|=0\)

Como \(A=\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]\)

e

\(I=\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\)

Ficamos com:

\(\left|\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{matrix}
\right]\right|=0\)

\(\left|\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \end{matrix} \right]-\left[\begin{matrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \end{matrix}
\right]\right|=0\)

\(\left|\begin{matrix}
1-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
0 & 1 & 1-\lambda
\end{matrix}
\right|=0\)

\((1-\lambda)^2(2-\lambda)=0\)

Os valores próprios são então \(\lambda=1\) e \(\lambda=2\)

Volte sempre, e estude um pouco meu caro