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Boa tarde,
Não estou a conseguir resolver este exercício
Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo de T
3. Seja T : \(R^3\) → \(R^3\) a transformação linear definida por T(x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z).
Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo de T

Alguém me consegue ajudar?
Peço desculpa pela gralha de repetir a frase no tópico e o doublepost mas não consigo o editar

Nestes exercícios é necessário representar matricialmente a transformação T. Para encontrar uma base de ImT basta encontrar uma base para o espaço de colunas da matriz T e para encontrar uma base para o nucT, basta encontrar uma base para o espaço nulo de T.
Para encontrar a representação matricial de T. Fixe uma base. O melhor é a canónica (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)

A base do núcleo conseguir, muito obrigado!
No entanto tenho a dúvida na parte da imagem.
Eu fiz
T(1,0,0)=(1;0;1)
T(0,1,0)=(2,1,1)
T(0,0,1)=(-1,1,-2)
Se fizer
xT(1,0,0) + Y(0,1,0) + Z(0,0,1) vai dar a expressão que está enunciado. Estou a fazer da maneira errada?

Se \(T_{\varepsilon \rightarrow \varepsilon }=\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\)

\(ImT=Col\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}=\left \{ (1,0,1),(2,1,1),(-1,1,2) \right \}\)


Para descobrir uma base basta verificar se são linearmente independentes.

Muito obrigado!

Nas soluções está:
3. b) dim(Im(T)) = 2 e base, por exemplo, {(1, 0, 1),(2, 1, 1)}; dim(N(T)) = 1 e base, por exemplo,
{(3, −1, 1)}.

Não falta a última coluna?

Tendo a representação matricial:
\(T_{\varepsilon \rightarrow \varepsilon }=\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\)

\(NucT=Nul\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\)
\(ImT=Col\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\)

É só calcular!!

Já consegui, muito obrigado!