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Sequência geradora de F={(x,y,z) E R^3 : x=2y}
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=10358		 Página 1 de 1
Autor:  EREGON [ 31 jan 2016, 03:07 ]
Título da Pergunta:  Sequência geradora de F={(x,y,z) E R^3 : x=2y}
Olá,

necessito de ajuda neste exercício.

Seja F={(x,y,z) E R^3 : x=2y}, indicar se F=<(6,3,0,),(-2,-1,5),(0,0,3)>

Obrigado

Paulo
Autor:  pedrodaniel10 [ 31 jan 2016, 04:06 ]
Título da Pergunta:  Re: Sequência geradora de F={(x,y,z) E R^3 : x=2y}
Olá, esse espaço linear também pode ser escrito como:

\(\text{Nul}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}\)

Para colocar na forma de espaço de colunas, temos de começar por colocar a matriz em escada de linhas (que já está), de seguida separar as variáveis dependentes das variáveis livres. Como 1 sendo x é o pivô, é uma variável dependente e o y e o z são variáveis livres.

\(\text{Nul}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}=L\left \{ (2y,y,z) \right \}=L\left \{ (2,1,0),(0,0,1) \right \}\)

(2,1,0) e (0,0,1) são bases desse espaço linear, agora a pergunta é, será que:

\(\text{Col}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \text{Col}\begin{bmatrix} 6 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 0\\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix}?\)

Se colocarmos, o espaço de colunas como espaço de linhas e aplicarmos a eliminação de Gauss chegamos à conclusão que não são o mesmo espaço:
\(\begin{bmatrix} 6 & 3 & 0\\ 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\6 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)

\(L\left \{ (2,1,0),(0,0,1) \right \}\neq L\left \{ (2,-1,0),(0,6,0),(0,0,3) \right \}\)
Autor:  EREGON [ 01 fev 2016, 01:04 ]
Título da Pergunta:  Re: Sequência geradora de F={(x,y,z) E R^3 : x=2y}
Olá,

obrigado pela ajuda, mas consultando as soluções desse exercício, estas indicam que Sim. Ou seja que F=<(6,3,0), (-2,-1,5), (0,0,3)>

Agora fiquei confuso :(

Paulo
Autor:  pedrodaniel10 [ 01 fev 2016, 03:45 ]
Título da Pergunta:  Re: Sequência geradora de F={(x,y,z) E R^3 : x=2y}
Tem toda a razão EREGON, eu enganei-me ao transcrever o 2º vetor. Em vez de (-2,-1,5) escrevi na matriz coluna (2,-1,5):

\(\text{Col}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \text{Col}\begin{bmatrix} 6 & -2 & 0\\ 3 & -1 & 0\\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix}?\)

E como podemos concluir (-2,-1,5) é um vetor linearmente dependente e que os outros vetores têm a mesma direção que a base do espaço calculado anteriormente.:
\((-2,-1,5)=-2\cdot(2,1,0)+5\cdot(0,0,1)\)

Podemos concluir com toda a certeza que são o mesmo espaço!
Erro meu, peço desculpa.
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