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| Dúvida subespaço e base https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=1037 |
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| Autor: | Tef7d [ 12 nov 2012, 17:56 ] |
| Título da Pergunta: | Dúvida subespaço e base |
Pessoal preciso de ajuda na resolução de 3 alíneas. \(F=\left \{(x,y,z,w) \epsilon R^4 : x+2y-2w=0\; ,\; 2y-z+2w=0 \right\}\) a) Verifique que F é um subespaço de vectorial de \(R^4\) b) Indique uma base para \(F\) c) Construa uma base de \(R^4\) que inclua uma base de \(F\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 22 jan 2013, 13:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida subespaço e base |
Olá a) \(F\) é um subespaço de \(R^4\) pois * o vetor zero ou seja \(v=(0,0,0,0)\) está contido em \(F\) * seja \(u,v\in F\) então \(u+v \in F\) * seja um escalar \(c\), e \(u \in F\) então \(c.u \in F\) seja \(u=(u_1,u_2,u_3,u_4)\) e \(v=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) testemos se \(u+v\) pertence a \(F\) ora \(u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,u_4+v_4)\) então \((u_1+v_1)+2(u_1+u_1)-2(u_4+v_4)=0 \ , \ 2(u_2+v_2)-(u_3+v_3)+2(u_4+v_4)=0\) continuando facilmente repara que \(u,v \in F\) o mesmo método pode ser aplicado para a terceira condição |
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| Autor: | Sobolev [ 22 jan 2013, 17:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida subespaço e base |
b) Para construir uma base de F podemos simplesmente obter a expressão geral das soluções do sistema homogeneo dado pelas condições que definem F (F é o nucleo ou espaço nulo da transformação linear associada a essa matriz de sistema). \(\left\{\begin{array}{rr}x+2y-2w=0 \\ 2y-z+2w=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rr}x=2w-2y \\ z = 2y+2w\end{array}\right.\) Assim vemos que na solução do sistema homogeneo as variáveis w e y podem ser escolhidas arbitrariamente. A solução geral é dada então por \((2 c_1 -2 c_2, c_2, 2c_2+2c_1, c1), \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}\) isto é, \(c_1 (2, 0, 2, 1) + c_2 (-2,1,2,0), \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}\) Vemos portanto que uma base de F pode ser dada por \(B_F = \{(2,0,2,1), (-2,1,2,0)}\) c) Se acrescentarmos à base de F os vectores (0,0,1,0) e (0,0,0,1) obtemos uma base de \(\mathbb{R}^4\). |
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