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| Bases e Produtos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=11 |
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| Autor: | WladimirC [ 20 abr 2011, 05:14 ] |
| Título da Pergunta: | Bases e Produtos |
Seja U = [u, v, w] uma base de R³. Seja U` o conjunto ordenado de três vetores de R³, U`= [u`, v`, w`], tal que u´= 2u + 1v - 3w, v`= 1u -1v + 2w, w`= 3u +1v - 1w. a) se U é uma base ortonormal, calcule |u`|, |v`|, |w`|, u`*v`, v`*w`, w`*u` b) calcule |u`| e v`*w`, quando U não é uma base ortonormal, mas cada par de vetores de U forma um ângulo de pi/3 (60°) e |u|=2, |v|=3, |w|=0,5 Desde já agradeço! |
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| Autor: | josesousa [ 21 abr 2011, 16:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Bases e Produtos |
Vou dar alguns exemplos: a) Base ortonormal => u.v = 0, u.w=0, w.v=0; |u|=|v|=|w| |u`|= raiz( 4|u|+1|v|+9|w|) = raiz(14) ...O mesmo para |v'| e |w'| u`*v`= (2u + 1v - 3w).(1u -1v + 2w) = 2|u|-|v|-6|w|=2-1-6=-5 ... O mesmo para os outros dois NOTA: Se desenvolver o produto, ficará com termos u.v, u.w que são iguais a zero pela ortonormalidade b) - U não é ortonormal - cada par de vetores de U forma um ângulo de pi/3 (60°) e |u|=2, |v|=3, |w|=0,5 Isto quer dizer que, por exemplo, u.v = |u||v|cos(pi/3) (*) |u`| = raiz(u'.u') = raiz( (2u + 1v - 3w).(2u + 1v - 3w) ) = =raiz( 4|u|+2u.v -6u.w +2v.u+|v|-3v.w -6w.u-3w.v+9|w|)= =raiz( 4.2+2.2.3.cos(pi/3)-6.2.(0,5).cos(pi/3)+2.3.2.cos(pi/3)+3-3.3.(0,5).cos(pi/3)- 6.(0,5).2.cos(pi/3)-3.(0,5).3+9.0,5) Para calcular v'*w' é a mesma coisa. multiplicam-se os termos e usa-se (*) Espero que ajude |
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| Autor: | WladimirC [ 22 abr 2011, 19:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Bases e Produtos |
Obrigado amigo pela ajuda! |
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| Autor: | WladimirC [ 22 abr 2011, 20:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Bases e Produtos |
Só para confirmar, a resposta de |u`| é raiz(17), mas a resposta de v`*w`é -21/4 ou -21/8? Estou com uma dúvida teórica. Na primeira, fiz o procedimento que você realizou para encontrar |u`|; já na segunda considerei o produto realizado por você e ainda multipliquei por cos(pi/3). Qual é o certo? |
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| Autor: | WladimirC [ 22 abr 2011, 20:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Bases e Produtos |
Correção: acho que não é -21/4 ou -21/8. É 3/4 ou 3/8. Considere estes. |
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