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| Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=11369 |
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| Autor: | fredericoahb [ 16 jun 2016, 04:21 ] |
| Título da Pergunta: | Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... |
Prezados, alguém me ajuda nessa? Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) = (x+(alfa).z, y+w, x+y-2.z, 4.z-w), onde alfa é um parâmetro real. a) Calcule a matriz T em relação a base canônica de R4. b) Para quais valores de alfa pertencente a R, a imagem de T tem dimensão 3? |
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| Autor: | Estanislau [ 16 jun 2016, 12:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... |
Vale a pena especificar as dúvidas. Pelo menos está a compreender o problema? Sabe o que é a matriz de uma transformação linear, a imagem, etc? |
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| Autor: | fredericoahb [ 16 jun 2016, 14:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... |
A matriz de transformação seria esta? T = 1 0 alfa -1 0 1 0 1 1 1 -2 0 0 0 4 -1 Para achar o valor de alfa para que a imagem tenha dimensão 3, o que eu poderia fazer? |
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| Autor: | Estanislau [ 16 jun 2016, 14:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... |
É essa a matriz, sim, só que na primeira linha o último número deve ser 0. A dimensão da imagem é igual ao posto matricial. https://pt.wikipedia.org/wiki/Posto_matricial (Isto é mais ou menos óbvio: a imagem é gerada pelos imagens dos vetores da base canónica, mas estas imagens são as colunas da matriz.) Então, é preciso encontrar alpha tais que o posto seja igual a 3. Nesse caso o posto é igual a 4 se, e somente se o determinante da matriz for não nulo. Por outra parte, as três últimas linhas são linearmente independentes, portanto o posto não pode ser menor do que 3. |
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| Autor: | fredericoahb [ 16 jun 2016, 14:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... [resolvida] |
Então para o posto da imagem ser igual a 3, eu poderia fazer o primeiro vetor dependente dos outros três? Ficaria assim: (1, 0, alfa, 0) = (0, 1, 0, 1)x + (1, 1, -2, 0)y + (0, 0, 4, -1)w Resolvendo o sistema, encontra-se alfa = -6. Assim, a imagem teria dimensão 3. Está correto? |
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| Autor: | Estanislau [ 16 jun 2016, 15:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) ... |
Exatamente! |
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