Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos!
https://forumdematematica.org/

Anel comutativo e Ideal - Álgebra
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=11649		 Página 1 de 1
Autor:  Leibniz [ 19 ago 2016, 22:01 ]
Título da Pergunta:  Anel comutativo e Ideal - Álgebra
Oi!

Alguém me ensina resolver esse exercício detalhadamente por gentileza?

Muito agradecido ;)


Dado um conjunto X, considere o conjunto das partes de X, (P(X), ∆, ∩), onde A∆B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

a) Mostre que (P(X), ∆, ∩) é um anél comutativo.

b) Mostre que o conjunto P (S) é um ideal de (P(X), ∆, ∩), qualquer que seja o subconjunto S ⊂ X.
Autor:  santhiago [ 19 ago 2016, 23:35 ]
Título da Pergunta:  Re: Anel comutativo e Ideal - Álgebra
Olá , o que vc tentou ? Qual propriedade vc não conseguiu prosseguir ?Conseguiu identificar o zero de P(X) e a identidade .Este é um exercício típico de álgebra .Falando por minha experiência pessoal ,o item mais 'trabalhoso ' é checar a associatividade da diferença simétrica (pensando como a soma ) . Se vc travou nesta parte , pode por exemplo checar https://proofwiki.org/wiki/Symmetric_Di ... ssociative .

Uma curiosidade , este é um simples exemplo que mostra que podemos ter anéis infinitos com característica positiva .

Dica para b) , como X é um conjunto não vazio arbitrário , segue dai que P(S) será tbm um anel comutativo com as operações do ambiente e portanto subanel de P(S) .
O próximo passo é verificar somente que um ideal à esquerda (e portanto tbm será a direita ) , i.e, para todo A em P(S) e R em P(X) , tem-se

RA em P(S) .
Autor:  santhiago [ 19 ago 2016, 23:36 ]
Título da Pergunta:  Re: Anel comutativo e Ideal - Álgebra
Olá , o que vc tentou ? Qual propriedade vc não conseguiu prosseguir ?Conseguiu identificar o zero de P(X) e a identidade .Este é um exercício típico de álgebra .Falando por minha experiência pessoal ,o item mais 'trabalhoso ' é checar a associatividade da diferença simétrica (pensando como a soma ) . Se vc travou nesta parte , pode por exemplo checar https://proofwiki.org/wiki/Symmetric_Di ... ssociative .

Uma curiosidade , este é um simples exemplo que mostra que podemos ter anéis infinitos com característica positiva .

Dica para b) , como X é um conjunto não vazio arbitrário , segue dai que P(S) será tbm um anel comutativo com as operações do ambiente e portanto subanel de P(S) .
O próximo passo é verificar somente que um ideal à esquerda (e portanto tbm será a direita ) , i.e, para todo A em P(S) e R em P(X) , tem-se

RA em P(S) .
Autor:  Leibniz [ 20 ago 2016, 00:55 ]
Título da Pergunta:  Re: Anel comutativo e Ideal - Álgebra
santhiago,

estou começando a estudar essa disciplina na faculdade esse período. Meu professor vai aplicar testes semanais como forma de avaliação. Terei um teste semana que vem e, na lista preparatória que ele passou, esse exercício era o primeiro e já travei :(

Peço por gentileza que resolva este para mim (se possível) e, a partir dele, estarei estudando para os outros.

Agradeço de coração o que puder fazer porque estou preocupado dado que a matéria é bem abstrata.

A lista têm apenas três questões e são todas elas bem semelhantes a esta. Acredito que se entender bem este exercício terei êxito nos outros exercícios.

Obrigado
Autor:  Leibniz [ 21 ago 2016, 15:12 ]
Título da Pergunta:  Re: Anel comutativo e Ideal - Álgebra
Olá

Parece que o Santhiago não entrou no fórum mais :(

Estou bastante preocupado porque minha prova já é essa semana e ainda não consegui resolver a questão..

Peço encarecidamente que alguém me ajude por favor.

Muito agradecido
Autor:  santhiago [ 21 ago 2016, 18:48 ]
Título da Pergunta:  Re: Anel comutativo e Ideal - Álgebra
Olá , desculpe estou com pouco tempo livre . Se tu queres a resolução completa com todos detalhes , pode ver aqui : https://crazyproject.wordpress.com/2010 ... ifference/ . Mas tente vc msm fazer primeiro e se convencer por si msm ...Matemática se aprendi assim ..

Escreva "+" para designar a diferença simétrica e ". " para a interseção e chame a power set P(X) de R . E sejam A,B e C elementos arbitrários de R . Devemos , provar o seguinte :

\((R, +)\) é um grupo Abeliano , isto é :

S1) + é associativa : A + (B+C) = (A+ B) + C
S2) Existe \(0_{R}\) zero em R tal que \(A + 0_R = A = A + 0_R\)
S3) Existe um elemento em R , denotado por \(-A\) tal que \(A + (-A) =0_R = (-A) + A\)
S4) + é comutativa : A + B = B + A

\((R, .)\) é um semigrupo , i..e ,

P1) \(.\) é associativa \(A \cdot (B\cdot C)\)
e

P2) \(\cdot\) é distributiva (esquerda-direita ) sobre a soma

\(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\) e

\((B+C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A\)


Em adição , vc pode facilmente verificar que \(R\) tem identidade \(1_R = ?\) e \(R\) é comutativo (pq ?) .


Para provar S1) expanda o lado esquerdo usando a definição da soma e faça o mesmo com o direito , e compare cada conjunto : Quando dois conjuntos são iguais ? Pode se provar o lado esquerdo está contido no lado direito e vice versa ou expandindo cada lado , e usando
alguns conhecimentos elementares de teoria dos conjuntos , a união é comutativa , associativa (idem para interseção ) , a interseção é distributiva sobre a união e as leis de De Morgan . Se tu não tais familiar com tais propriedades eu altamente recomendo que tu verifique como exercício . Observe que em virtude destas propriedades , naturalmente , o produto em R ( que é a interseção ) será associativa ( e tbm comutativa ) .

Tente trabalhar com as dicas acima .. Boa meditação ! Os demais itens são bem simples ...
Autor:  Leibniz [ 23 ago 2016, 01:25 ]
Título da Pergunta:  Re: Anel comutativo e Ideal - Álgebra
Obrigado santhiago ;)

Estou engatinhando aqui porque é muito complexo, mas tenho certeza que irei conseguir.

Matemática é esforço :)
Página 1 de 1 Os Horários são TMG [ DST ]
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/