Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos,
Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Não sei por onde começar...
Agradeço desde já!

Considere a transformação linear T :ℝ³→ℝ³ cuja matriz em relação à base canônica é
[T] = 1 0 1
−2 2 1
−3 1 1
A imagem, pela transformação T, do subespaço x + y + 2z = 0 de ℝ³[quote][/quote], é o seguinte plano de equação:
(A) x + y + 2z = 0
(B) 3x + 2y –3z = 0
(C) – x + y – 2z = 0
(D) 4x + 7y + 9z = 0
(E) 4x – 7y + 9z = 0

Dica:
Seja (x,y,z) um ponto pertencente ao plano de equação x+y+2z=0 e seja (x',y',z')=T(x,y,z). Então, \(\left[\begin{matrix}1&1&2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&1&2\end{matrix}\right]\left[T^{-1}\right]\left[T\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1&1&2\end{matrix}\right]\left[T^{-1}\right]\left[\begin{matrix}x'\\ y'\\ z'\end{matrix}\right]\). Portanto, se conseguir determinar \(\left[\begin{matrix}a&b&c\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&1&2\end{matrix}\right]\left[T^{-1}\right] \Leftrightarrow \left[T^t\right]\left[\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right]\) obtem uma equação do plano imagem: ax'+by'+cz'=0.

Obrigado pela resposta, Rui

Gostei da dica, porém ainda estou confuso em relação a como começar a resolução do exercício...
Poderia esclarecer um pouco mais? Sou leigo no assunto, desculpe...

Basicamente o que falta fazer é resolver o sistema de equações lineares \(\left[T^t\right]\left[\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right]\), ou seja, \(\left\{\begin{matrix}a-2b-3c=1\\2b+c=1\\a+b+c=2\end{matrix}\right.\) para obter uma equação do plano imagem: ax'+by'+cz'=0 com os valores de a,b,c obtidos (note que se multiplicarmos as constantes a,b,c por um escalar não-nulo a equação continua a representar o mesmo plano, pois \(ax+by+cz=0 \Leftrightarrow \lambda ax+\lambda by+\lambda cz=0\)). Pode resolver o sistema por eliminação de Gauss ou pela regra de Cramer (não vou fazer as contas por si).
Outra possibilidade de resolução é tomar dois vetores \(v_1\) e \(v_2\) que geram o plano x+y+2z=0, por exemplo (-2,0,1) e (0,-2,1), e determinar as suas imagens \(T(v_1)\) e \(T(v_2)\). Estes irão gerar o plano imagem. Tendo dois vetores que geram um plano que passe na origem, a equação desse plano será dada por um vetor perpendicular a esses dois, como é o caso do produto vetorial desses dois vetores. Resumindo a equação do plano imagem é ax+by+cz=0 onde \((a,b,c)=T(v_1)\times T(v_2)\).

PS: Seguindo os dois métodos obterá a mesma solução (a menos de produto por escalar). Curiosamente tal solução não é compatível com as opções enunciadas, logo ou o enunciado está incorreto ou tive mesmo muito azar (errar em dois métodos diferentes e ter obtido o mesmo resultado).