Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Poderiam ajudar me a resolver este exercício?

Mostre que um conjunto de k vetores de \(\mathbb{R}^{^{n}}\) , com \(k\geq 2\) , é linearmente dependente se e só se um dos vetores for combinação linear dos restantes.

Agradeço, desde já, a atenção.

Diz-se que um conjunto de k vectores é linearmente independente se

\(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0 \Rightarrow a_1=a_2=\cdots a_k=0\)

Nesse caso, se o conjunto é linearmente dependente, é possivel encontar \(a_1, \cdots a_k\), não todos nulos, de modo que

\(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.\)

Ora, tomando i tal que \(a_i \ne 0\) (é sempre possível uma vez que os \(a_k\) não podem ser todos nulos), teremos que

\(a_i v_i = -\sum_{j \ne i} a_j v_j\)

isto é,

\(v_i = -\sum_{j \ne i} \frac{a_j}{a_1} v_j\),

o que significa que \(v_i\) se pdoe escrever como combinação linear dos restantes vectores.

Isto demonstra um dos sentidos da equivalência, consegue prosseguir?

O somatório ficou negativo pois os vectores estava todos do mesmo lado da igualdade e depois todos excepto o v_i passaram para o outro lado, ficando com sinal negativo.

O resultado pedido é um "se e só se". Mostrei que SE for linearmente dependente ENTÃO um dos vectores é combinação linear dos restantes. Também é preciso mostrar que SE um dos vectores for comb. linear dos restantes ENTÃO o conjunto é linearmente dependente.