Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! :: Ver Pergunta - Demonstração em Rn conjunto linearmente dependente

Diz-se que um conjunto de k vectores é linearmente independente se

\(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0 \Rightarrow a_1=a_2=\cdots a_k=0\)

Nesse caso, se o conjunto é linearmente dependente, é possivel encontar \(a_1, \cdots a_k\), não todos nulos, de modo que

\(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.\)

Ora, tomando i tal que \(a_i \ne 0\) (é sempre possível uma vez que os \(a_k\) não podem ser todos nulos), teremos que

\(a_i v_i = -\sum_{j \ne i} a_j v_j\)

isto é,

\(v_i = -\sum_{j \ne i} \frac{a_j}{a_1} v_j\),

o que significa que \(v_i\) se pdoe escrever como combinação linear dos restantes vectores.

Isto demonstra um dos sentidos da equivalência, consegue prosseguir?

Autor:	mbeatriz1996 [ 01 Oct 2016, 00:11 ]
Título da Pergunta:	Demonstração em Rn conjunto linearmente dependente
Poderiam ajudar me a resolver este exercício? Mostre que um conjunto de k vetores de \(\mathbb{R}^{^{n}}\) , com \(k\geq 2\) , é linearmente dependente se e só se um dos vetores for combinação linear dos restantes. Agradeço, desde já, a atenção.

Autor:	Sobolev [ 03 Oct 2016, 16:39 ]
Título da Pergunta:	Re: Demonstração em Rn conjunto linearmente dependente
Diz-se que um conjunto de k vectores é linearmente independente se \(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0 \Rightarrow a_1=a_2=\cdots a_k=0\) Nesse caso, se o conjunto é linearmente dependente, é possivel encontar \(a_1, \cdots a_k\), não todos nulos, de modo que \(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.\) Ora, tomando i tal que \(a_i \ne 0\) (é sempre possível uma vez que os \(a_k\) não podem ser todos nulos), teremos que \(a_i v_i = -\sum_{j \ne i} a_j v_j\) isto é, \(v_i = -\sum_{j \ne i} \frac{a_j}{a_1} v_j\), o que significa que \(v_i\) se pdoe escrever como combinação linear dos restantes vectores. Isto demonstra um dos sentidos da equivalência, consegue prosseguir?

Autor:	mbeatriz [ 04 Oct 2016, 16:44 ]
Título da Pergunta:	Re: Demonstração em Rn conjunto linearmente dependente
Sobolev Escreveu: Diz-se que um conjunto de k vectores é linearmente independente se \(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0 \Rightarrow a_1=a_2=\cdots a_k=0\) Nesse caso, se o conjunto é linearmente dependente, é possivel encontar \(a_1, \cdots a_k\), não todos nulos, de modo que \(a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.\) Ora, tomando i tal que \(a_i \ne 0\) (é sempre possível uma vez que os \(a_k\) não podem ser todos nulos), teremos que \(a_i v_i = -\sum_{j \ne i} a_j v_j\) isto é, \(v_i = -\sum_{j \ne i} \frac{a_j}{a_1} v_j\), o que significa que \(v_i\) se pdoe escrever como combinação linear dos restantes vectores. Isto demonstra um dos sentidos da equivalência, consegue prosseguir? Muito obrigada pela resposta, no entanto não consegui perceber o que quer dizer com "um dos sentidos da equivalência" nem o porquê de ter posto o somatório negativo

Autor:	Sobolev [ 05 Oct 2016, 17:36 ]
Título da Pergunta:	Re: Demonstração em Rn conjunto linearmente dependente
O somatório ficou negativo pois os vectores estava todos do mesmo lado da igualdade e depois todos excepto o v_i passaram para o outro lado, ficando com sinal negativo. O resultado pedido é um "se e só se". Mostrei que SE for linearmente dependente ENTÃO um dos vectores é combinação linear dos restantes. Também é preciso mostrar que SE um dos vectores for comb. linear dos restantes ENTÃO o conjunto é linearmente dependente.

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