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Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0} https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=12406 |
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Autor: | BossMvP [ 04 mar 2017, 22:29 ] |
Título da Pergunta: | Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0} |
Retirado do livro Álgebra Linear - Steinbruch pág 22 e 23. Os símbolos ⊕ e ⊙ são utilizados para indiciar que a adição e a multiplicação por escalar não são as usuais. O conjunto V = {(x,y)/x,y >0}. É um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim: (x1,y1) ⊕ (x2,y2) = (x1 * x2, y1 * y2) α ⊙ (x,y) = (x^α, y^α). Sobre os 8 axiomas de espaço vetorial, tem que o elemento neutro da adição ⊕ é o vetor (1,1) (O autor afirma) (x1,y1) ⊕ (1,1) = (x1 * x2, 1 * 1) = (x1,y1). VERIFIQUEI E CORRETO! Sobre os 8 axiomas de espaço vetorial, tem que o elemento simétrico de cada vetor (x,y) é o vetor (1/x,1/y) (O autor afirma) (x1,y1) ⊕ (1/x1, 1/y1) = (x1 * 1/x1, y1 * 1/y1) = (1,1). VERIFIQUEI E ERRADO! Num deveria ser u + (-u) = 0? |
Autor: | santhiago [ 05 mar 2017, 02:04 ] |
Título da Pergunta: | Re: Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0} |
É apenas suficiente mostrar que \(\mathbb{R}^*_+\) com as operações \((*) x+y : = xy\) (soma definida pelo produto usual em \(\mathbb{R}\) ) e \(a x := x^a\) é um espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}\) . Pois , o conjunto V coincide com o produto cartesiano \(\mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}^*_+\) e as operações em V que vc mencionou podem ser definidas coordenada a coordenada a parti de \((*)\) Note que geralmente se \(A , B\) são ambos espaços vetoriais sobre um mesmo corpo ...Então , o produto cartesiano \(A \times B\) admite uma estrutura natural de espaço vetorial , definindo tanto a soma quanto a multiplicação por escalar coordenada a coordenada ... Certamente , tu encontrará mais detalhes sobre tal resultado em seu livro como exercício ou lemma .. tente concluir ... |
Autor: | BossMvP [ 05 mar 2017, 07:53 ] |
Título da Pergunta: | Re: Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0} |
Eu fiz uma bagunça mas na verdade minha dúvida é como adquirir o vetor (1/x,1/y). |
Autor: | Sobolev [ 05 mar 2017, 12:13 ] |
Título da Pergunta: | Re: Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0} |
Se designar por (u,v) o inverso de (x,y), deve ter, em particular, que \((x,y) \oplus (u,v) = (1,1)\) Isto exprime o facto de que somando um elemento com o seu inverso aditivo deve obter o elemento neutro da soma. Ora, a relação anterior é equivalente a \((xu, yv) = (1,1) \Leftrightarrow xu = 1 \wedge yv = 1 \Leftrightarrow u = \frac 1x \wedge v = \frac 1y\). Vê assim como é que (u,v) se obtém a partir de (x,y). |
Autor: | BossMvP [ 06 mar 2017, 14:15 ] |
Título da Pergunta: | Re: Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0} |
Muitíssimo obrigado, foi justamente o que gostaria de saber mas não soube me expressar de forma coerente. |
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