Todas as dúvidas que tiver sobre transformações lineares, transformações inversas, espaços lineares, subespaços lineares e bases e mudanças de base, valores e vectores próprios
04 mar 2017, 22:29
Retirado do livro Álgebra Linear - Steinbruch pág 22 e 23.
Os símbolos ⊕ e ⊙ são utilizados para indiciar que a adição e a multiplicação por escalar não são as usuais.
O conjunto V = {(x,y)/x,y >0}. É um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim:
(x1,y1) ⊕ (x2,y2) = (x1 * x2, y1 * y2)
α ⊙ (x,y) = (x^α, y^α).
Sobre os 8 axiomas de espaço vetorial, tem que o elemento neutro da adição ⊕ é o vetor (1,1) (O autor afirma)
(x1,y1) ⊕ (1,1) = (x1 * x2, 1 * 1) = (x1,y1). VERIFIQUEI E CORRETO!
Sobre os 8 axiomas de espaço vetorial, tem que o elemento simétrico de cada vetor (x,y) é o vetor (1/x,1/y) (O autor afirma)
(x1,y1) ⊕ (1/x1, 1/y1) = (x1 * 1/x1, y1 * 1/y1) = (1,1). VERIFIQUEI E ERRADO!
Num deveria ser u + (-u) = 0?
05 mar 2017, 02:04
É apenas suficiente mostrar que \(\mathbb{R}^*_+\) com as operações
\((*) x+y : = xy\) (soma definida pelo produto usual em \(\mathbb{R}\) ) e
\(a x := x^a\)
é um espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}\) . Pois , o conjunto V coincide com o produto cartesiano \(\mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}^*_+\) e as operações em V que vc mencionou podem ser definidas coordenada a coordenada a parti de \((*)\)
Note que geralmente se \(A , B\) são ambos espaços vetoriais sobre um mesmo corpo ...Então , o produto cartesiano \(A \times B\) admite uma estrutura natural de espaço vetorial , definindo tanto a soma quanto a multiplicação por escalar coordenada a coordenada ... Certamente , tu encontrará mais detalhes sobre tal resultado em seu livro como exercício ou lemma ..
tente concluir ...
05 mar 2017, 07:53
Eu fiz uma bagunça mas na verdade minha dúvida é como adquirir o vetor (1/x,1/y).
05 mar 2017, 12:13
Se designar por (u,v) o inverso de (x,y), deve ter, em particular, que
\((x,y) \oplus (u,v) = (1,1)\)
Isto exprime o facto de que somando um elemento com o seu inverso aditivo deve obter o elemento neutro da soma. Ora, a relação anterior é equivalente a
\((xu, yv) = (1,1) \Leftrightarrow xu = 1 \wedge yv = 1 \Leftrightarrow u = \frac 1x \wedge v = \frac 1y\).
Vê assim como é que (u,v) se obtém a partir de (x,y).
06 mar 2017, 14:15
Muitíssimo obrigado, foi justamente o que gostaria de saber mas não soube me expressar de forma coerente.
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