Operador linear, base, independência linear

[Engenet]

Seja \(F:U\rightarrow V\) uma transformação linear com a seguinte propriedade: se {\(u_{1},...,u_{n}\)} é uma base de \(U\), então {\(F(u_{1}),...,F(u_{n})\)} é linearmente independente em \(V\). Provar que \(F\) é injetora.

[Sobolev]

Pode demonstrar por redução ao absurdo... Se supusermos que F não é injectiva, existirá algum vetor \(w \in U, w \ne 0\), tal que \(F(w)=0\). Como \(u_1, \cdots, u_n\) é uma base de U, sabemos que \(w = a_1 u_1 + \cdots a_n u_n\). Além disso

\(0 = F(w)= F(a_1 u_1 + \cdots + a_n u_n) = a_1 F(u_1) + \cdots + a_n F(u_n)\)

Ora, este última relação contradiz o facto de \(F(u_1), \cdots , F(u_n)\) serem linearmente independentes.