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 Título da Pergunta: Encontrar uma Base ortogonal em R3
MensagemEnviado: 27 Oct 2017, 15:37 
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(a) Encontre uma base ortonormal {u, v, w} de R3 que possui todas as seguintes propriedades (simultaneamente!):
i. u pertence ao eixo z,
ii. o ˆangulo entre v e (0, 1, 0) ´e π/4,
iii. Escrevendo w = (w1, w2, w3), w1 ´e positivo.

(b) Quantas bases ortonormais de R3 existem que satisfazem todas as propriedades de Parte (a)?


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MensagemEnviado: 29 Oct 2017, 20:41 
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se,
\(\left \{ \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right \}\)
é uma base ortonormal,
então,
\(\vec{u}.\vec{v}=\vec{u}.\vec{w}=\vec{v}.\vec{w}=0
e
\vec{u}.\vec{u}=\vec{v}.\vec{v}=\vec{w}.\vec{w}=1\)

a)
i)
\(\vec{u}=(0,0,1)\)

ii)
\(se
tg \frac{\pi}{4}=1
e
\vec{v}.\vec{v}=1\)
então, podemos dizer que,
\(\vec{v}.(0,1,0)=tg \frac{\pi}{4}
logo,
\vec{v}=(0,1,0)\)

iii)
\(\vec{w}=\left \( \vec{w_1},\vec{w_2},\vec{w_3} \right \)
\vec{w_1}>0 \Leftrightarrow \vec{w}=(1,0,0)
\vec{w}=(1,0,0)\)

b)
existe apenas UMA possibilidade de base ortonormal em R3 que atenda às três propriedades:
\(\vec{u}=(0,0,1)
\vec{v}=(0,1,0)
\vec{w}=(1,0,0)\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


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MensagemEnviado: 30 Oct 2017, 16:59 
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jorgeluis Escreveu:
...
ii)
\(se
tg \frac{\pi}{4}=1
e
\vec{v}.\vec{v}=1\)
então, podemos dizer que,
\(\vec{v}.(0,1,0)=tg \frac{\pi}{4}
logo,
\vec{v}=(0,1,0)\)
...

Atenção que a fórmula é \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos(\theta) ||u|| ||v||\) (não envolve tangentes). Isso vai estragar todos os cálculos daí para a frente. O raciocínio, no entanto está correto. Note que se \(\vec{v}\) é ortogonal a \(\vec{u}=(0,0,1)\) então \(\vec{v}\) é da forma \((a,b,0)\) e que juntando ao facto de \(\vec{v}\) ter norma 1 e fazer ângulo de \(\pi/4\) com (0,1,0) dá-nos que \(b=\sqrt{2}/2\) e \(a=\pm \sqrt{2}/2\). Continuando o raciocínio (exercício) obtemos as seguintes soluções:

\(\vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e }\vec{w}=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0) \mbox{ ou } \vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e } \vec{w}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0)\)


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MensagemEnviado: 03 nov 2017, 04:15 
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Rui Carpentier Escreveu:
jorgeluis Escreveu:
...
ii)
\(se
tg \frac{\pi}{4}=1
e
\vec{v}.\vec{v}=1\)
então, podemos dizer que,
\(\vec{v}.(0,1,0)=tg \frac{\pi}{4}
logo,
\vec{v}=(0,1,0)\)
...

Atenção que a fórmula é \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos(\theta) ||u|| ||v||\) (não envolve tangentes). Isso vai estragar todos os cálculos daí para a frente. O raciocínio, no entanto está correto. Note que se \(\vec{v}\) é ortogonal a \(\vec{u}=(0,0,1)\) então \(\vec{v}\) é da forma \((a,b,0)\) e que juntando ao facto de \(\vec{v}\) ter norma 1 e fazer ângulo de \(\pi/4\) com (0,1,0) dá-nos que \(b=\sqrt{2}/2\) e \(a=\pm \sqrt{2}/2\). Continuando o raciocínio (exercício) obtemos as seguintes soluções:

\(\vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e }\vec{w}=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0) \mbox{ ou } \vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e } \vec{w}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0)\)


Rui, não entendi muito bem seu raciocínio. A resposta anterior está errada então né?


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MensagemEnviado: 04 nov 2017, 00:29 
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Citar:
Rui, não entendi muito bem seu raciocínio. A resposta anterior está errada então né?


Infelizmente sim, a resolução do Jorge Luis está errada. Repare que, para a condição ii, nunca poderíamos ter v=(0,1,0), porque o ângulo entre v e (0,1,0) seria, nesse caso, 0 (são o mesmo vetor).


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